Тема 4. Похідна та її застосування

4.1. Обчислити границі:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) ; 21) ;

22) ; 23) ; 24) ;

25) ; 26) ; 27) ;

28) ; 29) ; 30) ;

31) ; 32) ; 33) ;

34) ; 35) ; 36) ;

37) ; 38) ; 39) ;

40) ; 41) ; 42) ;

43) ; 44) ; 45) ;

46) ; 47) ; 48) ;

49) ; 50) ; 51) ;

52) ; 53) ; 54) ;

55) ; 56) ; 57) ;

58) ; 59) ; 60) ;

61) ; 62) .

4.2.Відомо, що . Обчисліть:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4.3.Відомо, що , і . Обчисліть:

1) ; 2) ;3) ;4) .

4.4. Дослідити функцію на неперервність:

1) ;2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ;8) ; 9) ;

10) ; 11) ;12)

4.5. Дослідити функцію на неперервність на вказаному проміжку:

1) , [0; 10]; 2) , [2; 10].

4.6. Вказати точки розриву функції:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) у = tg x.

4.7. Знайти у загальному вигляді приріст функції:

1) у = 2х² – 1; 2) у = 3х + 2; 3) у = 3х² – 2х;

4) у = -х² – 3х; 5) у = х³; 6) у = 2х³ – 2х².

4.8. Знайти похідну функції за означенням:

1)у = с; 2) у = х²; 3) у = х;

4) ; 5) у = х³; 6) у = х⁶;

7) ; 8) ; 9) ;

10) 11) 12) ;

13) у = 2х + 5; 14) у = х² + х; 15) у = 3х – 10.

4.9. Знайти похідну функції (продиференціювати функцію):

1)у = х¹⁰;2) ; 3) ;

4)у= х⁷; 5) ; 6) ;

7) ; 8) у = х² – 5; 9) у = х³ + 4х;

10) у = 5х²; 11) у = 4х³ – 10х² + 5х – 4; 12) ;

13) y = 3 + 2x³ + ; 14) ; 15) ;

16) y = 4 - + ; 17) ; 18) у = 3;

19) у = 5х³; 20) ; 21) ;

22) ; 23) ; 24) ;

25) ; 26) ; 27) y = (3 – 2х) ;

28)y = х ; 29) y = 4х³ - 6 - ; 30) ;

31) ; 32) ; 33) ;

34) у = -16х; 35) у = -8; 36) у = х² – 7х;

37) ; 38) ; 39) ;

40) ; 41) ; 42) ;

43) ; 44) ; 45) ;

46) ; 47) ; 48) ;

49) у = -8е^х; 50) у = 4 – е^2х; 51) у = х³ е^х;

52) ; 53) ; 54) y = 5e^x + 1;

55) ; 56) ; 57) ;

58) ; 59) ; 60) ;

61) ; 62) ; 63) ;

64) ; 65) ; 66) ;

67) ; 68) ; 69) ;

70) ; 71) ; 72) ;

73) ; 74) ; 75) ;

76) у = х¹⁰⁰; 77) ; 78) ;

79) ; 80) ; 81) у = -х⁵;

82) ; 83) y = ; 84) y = 3 · 2^x ;

85) y = - 3x² + 4e^{x +2}; 86) ; 87) ;

88) ; 89) ; 90) ;

91) ; 92) ; 93) ;

94) ; 95) y = cos x; 96) ;

97) ; 98) y = sin x; 99) ;

100) ; 101) y = (cos 3x + 6)³; 102) y = ;

103) y = (sin 2x - 5)³; 104) y = (1 - sin 2x)²; 105) ;

106) ; 107) ; 108) ;

109) ; 110) ; 111) ;

112) ; 113) ; 114) ;

115) ; 116) ; 117) ;

118) y = e^x sin x; 119) y = 7 cos 3x; 120) ;

121) ; 122) ; 123) ;

124) ; 125) ; 126) ;

127) ; 128) ; 129) ;

130) ; 131) ; 132) ;

133) ; 134) .

4.10. Знайти похідну другого та третього порядку:

1)у = х⁴ + 3х;2) ; 3) у = 7х⁷ + 6х⁵ – 7х + 6;

4) y = sin 3x; 5) ; 6) у = -5х⁴ + 2х³ – 3х + 6cos x;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

4.11. Знайти значення похідної функції при заданому значенні аргумента (значення похідної в точці):

1) у = х³ + 4, у^/ (2); 2) f (x) = 5x³ – 4x² + x – 1, f ^/ (5);

3) f ^/ (2); 4) , у ^/ (5);

5) f(x) = + ,х₀ = 1; 6) f(x) = , х₀ = 2;

7) f(x) = , х₀ = 1; 8) f(x) = sin x + cos x, х₀ = 0;

9) , х₀ = -1; 10) , х₀ = 1;

11) , х₀ = -1; 12) , х₀ = 2π;

13) , х₀ = 0; 14) , х₀ = 0;

15) , х₀ = -1; 16) , х₀ = ;

17) , х₀ = е; 18) , х₀ = .

4.12. Знайти миттєву швидкість рухомої точки в момент часу t = 1 с, t = 2с, t = 3с, якщо закон руху задано формулою:

1)y = t⁵ – 2t⁴ + 3t³ – 2t² + 5t – 1;2)y = t⁴ + 5t³ – 4t² + 5t – 1.

4.13.Тіло рухається за законом . В який момент часу прискорення буде 6 м/с², якою буде в цей час швидкість? (S – вимірюється в метрах)

4.14.Знайти швидкість тіла, що рухається за законом S = 3t – 5 (S – вимірюється в метрах).

4.15.Знайти середню швидкість руху тіла, що рухається за законом S = 2t², для проміжків часу:

1) від t₁ = 2с до t₂ = 4с; 2) від t₁ = 6с до t₂ = 10с.

4.16. Знайти швидкість руху тіла в момент часу t = 2с, якщо закон руху виражений формулою: S = 4t² – 3 (S – вимірюється в метрах).

4.17.Точка рухається за законом S = 2 + 20t – 5 t². Знайти миттєву швидкість точки у момент t = 1 с. (S – вимірюється в метрах).

4.18. Знайти миттєву швидкість рухомої точки в момент часу t = 1 с, якщо закон руху задано формулою S = t³ – 2 t² + 2. (S – вимірюється в метрах)

4.19. Точка рухається за законом S (t) = . Знайти швидкість та прискорення точки через 2 с після початку руху. (S – вимірюється в метрах).

4.20.Тіло рухається за законом S (t) = . Знайти швидкість та прискорення в момент часу t = 1 с. (S – вимірюється в метрах, t – в секундах).

4.21. Точка рухається за законом S (t) = . Знайти швидкість та прискорення точки через 2 с після початку руху. (S – вимірюється в метрах).

4.22. Точка рухається за законом S (t) = . Знайти швидкість та прискорення точки через 3 с після початку руху. (S – вимірюється в метрах).

4.23. Тіло рухається прямолінійно за законом . Знайти прискорення в момент часу t = 3,5 с. (S – вимірюється в метрах)

4.24. Точка рухається за законом S (t). У який момент часу швидкість точки найменша та в який момент часу прискорення руху дорівнює 0?

1) S (t) = 0,25t⁴ – 2t³ + 4,5t² + 2; 2) .

4.25.Рух точки задано рівнянням . В які моменти часу точка була в початковому пункті? В які моменти часу її швидкість дорівнювала нулю? (S – вимірюється в метрах)

4.26. Визначити прискорення точки у вказані моменти часу, якщо швидкість точки, що рухається прямолінійно, задана наступними рівняннями:

1) V = t² + 2t, t = 3с; 2) V = 3t – t³, t = 2с.

4.27. Визначити момент часу, коли прискорення прямолінійного руху, що здійснюється за законом , дорівнює нулю. Яка при цьому швидкість? (S – вимірюється в метрах)

4.28. Обчислити швидкість зміни функції в точці х₀:

1) , х₀ = -1; 2) , х₀ = 2; 3) , х₀ = 1;

4) , х₀ = ; 5) , х₀ = ; 6) , х₀ = .

4.29. Записати рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) в точці з абсцисою х = а, якщо:

1)f(x) = 3x + 2x², а =1; 2)f(x) = х², а = 3; 3)f(x) = х³, а = 1;

4) f(x) = 2 – х – х³, а = 0; 5) , а = 2; 6) , а = 3.

4.30.Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої ху = 2 в її точці А (2; 1).

4.31. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої у = х² – 2х в її точці х₀ = 3.

4.32. Скласти рівняння дотичної до графіка функції у = х³ + 2х² – 5 в точці х₀ = -1.

4.33. До кривої у = 3х² – 6х + 5 проведена дотична, паралельна вісі Ох. Знайти координати точки дотику.

4.34. Дано криву у = -х² + 1. Знайти точку, в якій дотична паралельна до прямої у = 2х + 3. Скласти рівняння дотичної.

4.35. Записати рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x² – 2х + 3 в точці перетину графіка з віссю ординат.

4.36. На кривій f(x) = -x² +3х – 2 знайти точку, в якій дотична паралельна прямій y = x.

4.37. Скласти рівняння дотичної до кривої у = х² – 2х, якщо дотична паралельна до графіка функції у = -4х + 1.

4.38. Записати рівняння дотичних до графіка функції у= х³ – х², паралельних прямій у = х – 11.

4.39. Знайти рівняння дотичної до графіка функції , що проходить через точку (-2; 0).

4.40. Знайти рівняння спільної дотичної до графіків функцій та .

4.41. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = х³ – 3х² в точці з абсцисою х₀ = -2.

4.42. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = в точці з абсцисою х₀ = 2.

4.43. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = 2 – 0,5х – х² в точці перетину цієї функції з віссю ординат.

4.44.Дано функцію у = 2х + 1. Знайти приріст даної функції, якщо х змінюється:

1) від 4 до 4,3; 2) від 0 до 0,2; 3) від 2 до 1,5.

4.45. Знайти приріст функції у = 2х², якщо відомо:

1) х₁ = 2, = 0,5; 2) х₁ = 3, = -0,6.

4.46. Знайти приріст функції :

1) , якщо х₀ = 1, ; 2) , якщо х₀ = -1, .

4.47.Знайти приріст функції , якщо f(x) = 3x² – 8x + 1 в точці 1,995.

4.48. Обчислити наближене значення виразу:

1) ;2) ;3) ;4) ;

5) ; 6)1,015²; 7) 0,988³; 8) ;

9) ; 10) 2,001⁴; 11) 4,001²; 12) 0,999¹⁵;

13) 1,98⁵; 14) ; 15) 1,02¹⁰; 16) .

4.49. Знайти приблизно f (1,001), якщо:

1) ; 2) .

4.50.Обчислити f (2,01) і f (1,98) для функції f (x) = 5x³ – 2x + 3.

4.51. Знайти наближене значення наступних функцій:

1)у = х² + х при х = 3,01;2)у = 3х² + 2 х – 1 при х = 2,03;

3)у = х³ + х² – 2х при х = 2,01; 4) при х = 2,1;

5) у = х³ – 2х + 1 при х = 0,02; 6) у = х³ – 4х² + 1 при х = -2,03.

4.52. Знайти диференціали dy, якщо:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4.53. Дослідити функцію на монотонність (знайти проміжки зростання та спадання функції):

1) ;2) ; 3) ;

4) ; 5) ;6) ;

7) ;8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ;14) ; 15) ;

16) .

4.54. Знайти критичні точки функції:

1) ;2) ; 3)у = 12х – х³;

4)у = х³ – 6х²; 5) у = х⁴ – 4х³ + 4х² - 3; 6) у = 0,5х² – 0,25х⁴ – 5.

4.55. Знайти точки екстремуму функції та визначити їх характер:

1) у = 7 + 12х – х³; 2) у = 3х³ + 2х² – 7; 3) у = 8 + 2х² – х⁴;

4) у = х⁴ – 8х²; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) у = х³ – 7х² – 5х + 11;

10) ; 11) у = х³ – 6х²; 12) у = 2х³ – 3х²;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) ;

19) ; 20) ; 21) ;

22) .

4.56. Знайти проміжки вгнутості та випуклості кривих:

1) ; 2) .

4.57. Знайти точки перегину наступних кривих:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) .

4.58. Знайти найбільше та найменше значення функції на заданому проміжку:

1)у = 3х -6, [-1; 4]; 2) , [ ; 8];

3) у = х² – 8х +19, [-1; 5]; 4) у = х² + 4х -3, [0; 2];

5) у = 2х² – 8х + 6, [-1; 4]; 6) у = -3х² + 6х – 10, [-2; 9];

7) у = х³ – 9х² + 24х -1, [-2; 3]; 8) у = х³ + 3х² - 45х -3, [2; 7];

9) у = х⁴ – 8х³ + 10х² + 1, [-1; 7]; 10) , [-2; 0];

11) , (-∞; 1]; 12) , [-3; +∞);

13) у = х⁴ - 2х² + 3, [1; 3]; 14) у = 2х³ + 3х² – 12х + 7, [0; 2];

15) , [0; 3]; 16) ,[-1; 1];

17) , [1; 5]; 18) , [1; 3];

19) , [-1; 2]; 20) , [-2; 2].

4.59.Тіло рухається за законом . Знайти максимальну швидкість руху.

4.60. Біля річки необхідно огородити ділянку землі найбільшої площі. Довжина огорожі 160м.

4.61. Який з прямокутників з периметром 100 м буде мати найбільшу площу?

4.62. Сума основи і висоти трикутника 30 см. При яких розмірах основи площа буде найбільша?

4.63. Сума двох цілих чисел 24. Знайти ці числа, якщо відомо, що їх добуток набуває найбільшого значення.

4.64.Добуток двох додатних чисел дорівнює 484. Знайти ці числа, якщо відомо, що їх сума набуває найбільшого значення.

4.65. Знайти довжини сторін прямокутника, що має найбільшу площу, якщо його периметр:

1) 56 см; 2) 72 см; 3) 48см.

4.66. Зі всіх прямокутників, що мають периметр 20 см, знайти той, у якого діагональ найменша.

4.67. Сума основи та висоти трикутника дорівнює 10 см. Якими мають бути розміри основи, щоб площа трикутника була найбільшою?

4.68. Знайти довжину сторін прямокутника, що має площу 144 см² та найменший периметр.

4.69. Зі всіх прямокутників площею 9 дм² знайти той, периметр якого найменший.

4.70. Вікно прямокутної форми має периметр 6 м. Якими мають бути розміри вікна, якщо площа його найбільша?

4.71. Різниця двох чисел дорівнює 7. Якими мають бути ці числа, щоб добуток їх був найменшим?

4.72. Число 18 розкласти на 2 доданки так, щоб їх добуток був найбільшим.

4.73. Дослідити функцію та побудувати її графік:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18) .

Тестові завдання до теми