Дисперсия случайной величины
Определение. Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:
D(X) = M[X – M(X)]2. | (5.9) |
Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид:
. | (5.10) |
Для непрерывной случайной величины:
. | (5.11) |
На практике для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:
D(X) = M(X2)– [M(X)]2. | (5.12) |
Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид:
. | (5.13) |
Для непрерывной случайной величины:
. | (5.14) |
Рассмотрим свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(С) = 0. | (5.15) |
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат, т.е.
D(kX) = k2D(X). | (5.16) |
3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.
D(X + Y) = D(X) + D(Y). | (5.17) |
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.
D(X – Y) = D(X) – D(Y). | (5.18) |
Пример 5.2. Найти дисперсию случайной величины Z = 8X – 5Y + 7, если известно, что D(X) = 1, D(Y) = 2.
Решение. Используя свойства дисперсии, находим
D(Z) = 82D(X) – 52D(Y) + D(7) = 64·1 + 25·2 + 0 = 114. ◄
Дата добавления: 2015-11-10; просмотров: 10225;