Математическое ожидание случайной величины

Определение. Математическим ожиданием, или средним значением, M(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

.

(5.1)

Заменим в формуле для дискретной случайной величины знак суммирования по всем ее значениям знаком интеграла с бесконечными пределами, дискретный аргумент x_i – непрерывно меняющимся х, а вероятность p_i – элементом вероятности f(x)dx. Получаем формулу для математического ожидания непрерывной случайной величины (если интеграл абсолютно сходится):

.

(5.2)

Рассмотрим свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е.

М(X Y) = M(X) M(Y).

(5.5)

4. Математическое ожидание произведений конечного числа случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

5. Если все значения случайной величины увеличить (или уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (или уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:

М(X С) = M(X) С.

(5.7)

6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

Пример 5.1. Найти математическое ожидание случайной величины Z = 8X – – 5Y + 7, если известно, что M(X) = 3, M(Y) = 2.

Решение. Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, находим

M(Z) = 8M(X) – 5M(Y) + M(7) = 8·3 – 5·2 + 7 = 21. ◄

Итак, мы установили, что математическое ожидание является важной числовой характеристикой случайной величины. Однако одно лишь математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

Вернемся к задаче о стрелках. При равенстве средних значений числа выбиваемых очков, вопрос о том, какой из стрелков стреляет лучше, остается открытым. Однако в этом случае можно сделать предположение, что лучше стреляет тот стрелок, у которого отклонения числа выбитых очков от среднего значения меньше.

Мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служит дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние).