Отображение нечетких множеств.

Четкие отображения. Обычным, четким отображением (многозначным, полиморфным) множества Х в множество Y, называется , произвольное подмножество декартового произведения , то есть . Множество Х называется областью определений отображения, а Y – областью значений. Для фиксированного элемента х* Х области определения отображения его образом по отображению называется множество .

Образом множества A⊑X по отображению называется объединение образов всех элементов А, то есть множество .

Если каждому элементу х Х отвечает один и лишь один элемент и одновременно выполняется обратное утверждение, то есть каждому элементу отвечает один и лишь один элемент х Х, то такое отображение является изоморфным, или взаимно однозначным. Если каждому элементу х Х соответствует один и лишь один элемент , но обратное утверждение не выполняется, то отображение является гомоморфным, то есть для каждого элемента х Х существует один и лишь один образ, но вместе с тем несколько элементов х Х могут иметь один и тот же образ.

Обратное отображение для отображения называется такое отображение, для которого . Образ элемента y* при обратном отображении он является подмножеством множества Х.

Принцип обобщения Л.Заде. Способ расширения области определения на класс нечетких множеств можно получить с помощью принципа обобщения. Л.Заде предложил следующий принцип обобщения, который основывается на определении понятия образа нечеткого множества при условии обычного четкого отображения. Пусть – заданное отображение и пусть А – некоторое нечеткое подмножество множества Х с функцией принадлежности . Согласно принципа обобщения Л.Заде образ А при отображении определяется как нечеткое подмножество множества Y, что является совокупностью пар следующего вида: , где – функция принадлежности образа. Таким образом функцию принадлежности можно записать следующим образом : , где множество для произвольного фиксированного является следующей , то есть является множеством всех тех элементов х Х, образом каждого из которых при отображении является элемент y.

Образом В нечеткого множества А в Х при условии нечеткого отображения называется нечеткое множество, которое имеет следующую принадлежность .

соответствует определению образа, на котором основывается принцип обобщения Л.Заде.

Многомерные нечеткие отображения и прообразы. Если заданное нечеткое отображение зависит от n переменных, то есть имеет вид , где – декартовое произведение соответствующих множителей, и на множестве Х задано нечеткое подмножество , то в общем случае функция принадлежности этого подмножества будет иметь следующий вид , где и v-заданные нечеткие подмножества соответствующих множеств b X. Эта запись означает, что множество является «совокупностью» всех наборов таких, что «принадлежит» нечеткому множеству , а – нечеткому множеству v.

Используя принцип обобщения в этом случае, получаем следующий вид для функции принадлежности нечеткого множества : .

Прообразом А нечеткого множества В в Y для нечеткого отображения , называется объединение всех нечетких множеств, образы которых для этого отображения принадлежат (являются подмножествами) нечеткого множества В.

Нечеткое множество А – прообраз множества В – имеет следующую функцию принадлежности , где множества и определяются из следующих соотношений: .