Методы составления схем набора

Основным методом составления схем набора при моделировании обыкновенных дифференциальных уравнений является метод понижения порядка производных.

Уравнение - оригинал, например, линейное с постоянными коэффициентами

p²y + a₁py + a₀y = b₀x (6.20)

решается относительно старшей (второй) производной

p²y = b₀x - a₀y - a₁py. (6.21)

Для реализации этой суммы в схеме набора (рис.№) предусматривается суммирующий усилитель 1. Вследствие инверсии всех входных величин, фактически на его выходе получается сумма

- (b₀x - a₀y - a₁py),

т.е. - p²y. Для понижения порядка производной служит интегрирующий усилитель 2, также обладающий инвертирующим свойством, на выходе которого формируется первая производная

( - p²y)×( - 1/p) = py.

Для дальнейшего понижения порядка производной в схему включается интегрирующий усилитель 3, на выходе которого получается нулевая производная

(py)×( - 1/p) = - p⁰y = - y,

т.е. решение моделируемого уравнения (6.21), но с обратным знаком.

Для ввода в сумматор 1 переменных - px, - y используются выходы интеграторов 2, 3. Для образования - py из py предусмотрен инвертор 4.

Реализация - y вместо y в общем случае принципиального значения не имеет. При необходимости y можно получить с помощью дополнительного инвертора.

Сумматор 1 и интегратор 2 в схеме на рис.№№ можно заменить сумматором - интегратором (рис.№№2). В этом случае на выходе усилителя 1 получается

(b₀x - a₀y - a₁py)×( - 1/p) = (p²y)×( - 1/p) = - py.

Число усилителей в схеме уменьшается, но теряется возможность получения второй производной p²y.

На схеме указаны обозначения математических величин и их знаки, коэффициенты уравнения оригинала, обозначения напряжений и коэффициенты передачи вычислительных блоков.

Если линейное дифференциальное уравнение - оригинал содержит в правой части производные функции x = x(t), то его заменяют равносильной системой линейных нормальных уравнений. Пусть уравнение - оригинал имеет вид

p²y + a₁py + a₀y = b₂p²x + b₁px + b₀x (6.22)

или

p(py + a₁y - b₂px - b₁x) = b₀x - a₀y

Обозначая

py + a₁y - b₂px - b₁x = y₁ (6.23)

получаем

py₁ = b₀x - a₀y.

Приводим (6.23) к виду

p(y - b₂x) = b₁x - a₁y + y₁,

обозначая

y - b₂x = y₂

получаем

py₂ = b₁x - a₁y + y₁.

В результате уравнение (6.22) сводится к системе

py₁ = b₀x - a₀y

py₂ = b₁x - a₁y + y₁

0 = b₂x - a₂y - + y₂

где a₂ = 1.

По аналогии с (6.24) можно записать систему нормальных уравнений, заменяющую уравнение - оригинал n-го порядка.

В любом случае число входов решающих усилителей не превышает трех.

Если линейное уравнение с переменными коэффициентами a = a(t), b = b(t) имеет вид (6.22), то его можно привести к равносильной системе уравнений первого порядка

y’₁ = b₀x - a₀y, (6.25)

y’₂ = b₁x - a₁y + y₁,

0 = b₂x - a₂y + y₂

с новыми переменными коэффициентами a = a( t ), b = b( t ) аналогичной системы (6.24), причем

a₂ = a₂, b₂ = b₂,

a₁ = a₁ - 2a’₂, b₁ = b₁ - 2b’₂,

a₀ = a₀ - a’₁ + a’’₂, b₀ = b₀ - b’₁ + b’’₂.

Структурная схема модели системы (6.25) с переменными коэффициентами аналогична схеме на рис.№№2, но в соответствующие каналы включаются пять блоков перемножения. Так же моделируют линейные уравнения с переменными коэффициентами более высоких порядков.