Погрешность численного интегрирования

Для нахождения зависимостей погрешности вычисления определенного интеграла на отрезке от числа отрезков разбиения интервала интегрирования разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора:

. (6.22)

Тогда интеграл от данной функции на отрезке будет равен

. (6.23)

Оценим погрешность метода левых прямоугольников. Погрешность интегрирования на отрезке равняется разности между точным значением интеграла и его оценкой :

. (6.24)

Из (6.24) видно, что основной член погрешности на каждом отрезке имеет порядок или, в символической записи, . Поскольку полное число отрезков равно N, а , то полная погрешность метода левых прямоугольников по порядку величины равна . Аналогично можно показать, что погрешность метода правых прямоугольников также пропорциональна .

Погрешность формулы трапеций оценивается аналогичным образом. Так как значение интеграла на отрезке вычисляется по формуле , то погрешность равна

(6.25)

Заменив в (6.25) первый член выражением (6.23), значение функции в точке - разложением в ряд Тэйлора:

,

раскрыв скобки и приведя подобные, обнаруживаем, что член, пропорциональный первой производной функции, сокращается, и погрешность на одном отрезке равна » » . Следовательно, полная погрешность формулы трапеций на отрезке по порядку величины равна .

Так как формула Симпсона основывается на приближении функции параболой, можно ожидать, что в данном случае погрешность по порядку величины будет определяться членами, пропорциональными третьей производной функции. Однако последовательное повторение действий, выполненных при оценке погрешности метода трапеций, показывает, что эти члены сокращаются в силу их симметричности, поэтому в разложении в ряд Тейлора следует удержать член, пропорциональный . Следовательно, погрешность формулы Симпсона на отрезке пропорциональна , а полная погрешность на отрезке по порядку величины составляет .

Полезно получить оценку погрешности вычисления интеграла от функции, зависящей от двух переменных, который с геометрической точки зрения представляет собой объем фигуры под поверхностью, заданной функцией . В прямоугольном приближении данный интеграл равен сумме объемов параллелепипедов с площадью основания и высотой, равной значению функции в одном из углов. Для определения погрешности разложим функцию в ряд Тейлора:

, (6.26)

где , - частные производные по соответствующим переменным.

Погрешность вычисления интеграла равна

. (6.27)

Подставив (6.26) в (6.27), выполнив интегрирование и приведя подобные, получаем, что член пропорциональный сокращается, а интеграл от дает . Интеграл от данного выражения по дает еще один множитель . Аналогичный вклад дает интеграл от члена, пропорционального . Так как погрешность порядок погрешности также составляет , то погрешность интегрирования по прямоугольнику , равна

. (6.28)

Из (6.28) видно, что погрешность интегрирования по одному параллелепипеду составляет . Так как имеется N параллелепипедов, полная погрешность по порядку величины равна . Однако в двумерном случае , поэтому полная погрешность . Напомним, что в одномерном случае полная погрешность метода прямоугольников .

Аналогичные оценки для двумерных обобщений формул трапеций и Симпсона показывают, что они соответственно равны и . Вообще можно показать, что если для одномерного случая погрешность составляет , то в d-мерном случае она равна .