Основная система координат

Зафиксируем точку с криволинейными координатами .

Введем следующую аффинную систему координат(см. рис.1.5.3):

· Начало ее совпадает с точкой .

· Первая координатная ось совпадает с касательной в точке к первой координатной линии.

· Вторая координатная ось совпадает с касательной в точке ко второй координатной линии.

· Третья координатная ось совпадает с касательной в точке к третьей координатной линии.

На рисунке 1.5.3 координатная ось с номером обозначена , . Координатная линия с номером обозначена . Координатная поверхность с номером обозначена . Координатные линии выделены жирным цветом.

Так как — дважды непрерывно дифференцируемая функция, то функция будет также дважды непрерывно дифференцируемой по .

Рис. 1.5.3

Аналогичное утверждение справедливо для функции относительно и для функции относительно . Поэтому касательные к координатным линиям в точке существуют.

Направляющие векторы этих касательных будут коллинеарны, соответственно, векторам

Здесь выражение означает, что вектор вычислен в точке с координатами .

В силу условия (1.5.2):

, (1.5.2)

векторы , , в точке будут некомпланарными.

Обозначим орты этих векторов , . Тогда можем записать:

, , (1.5.5)

где

.

Очевидно, вектор указывает направление изменения положения точки относительно точки при возрастании координаты .