Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида , если . Раскрыть эту неопределенность – значит вычислить предел , если он существует, или установить, что он не существует.

Теорема Лопиталя (Франсуа Лопиталь (1661-1704) – французский математик).

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть, кроме того, и в указанной окрестности точки . Тогда, существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

= .

Замечание 1. Если производные удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применять повторно. При этом получается = = .

Замечание 2.Теорема остается верной и в случае, когда

Примеры.

1) = = = = ;

2) = = = = = ;

3) = = = =1.

Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида , если . Для этой неопределенности справедливо утверждение аналогичное теореме Лопиталя, если заменить условие на условие,