Символы плоскостей (граней)

Пространственную ориентацию кристаллографических плоско­стей и направлений (атомных слоев и рядов) определяют по от­ношению к кристаллографическим осям. Начало координат помещают в одной из вершин элементарной ячейки; кристалло­графические оси проходят через ее ребра. Ось +х принимают направленной из начала координат в сторону наблюдателя, ось + у - по горизонтали вправо, а ось +z - вертикально вверх (рис. 2.6).

Положение плоскости в пространстве однозначно определяется отрезками, отсекаемыми ею на координатных осях. За единицу измерения вдоль каждой кристаллографической оси принимают период решетки в направлении этой оси, т. е. длину ребра эле­ментарной ячейки а (рис. 2.6, а). Например, заштрихованные плоскости отсекают по осям а:, у, z отрезка величиной 1, 1, 1 (рис. 2.6, а), 1, 1, ∞ (рис. 2.6, б), 1, ∞, ∞ (рис. 2.6,в), 1, 1, 1/2 (рис. 2.6, г) и 1, 2, 1 (рис. 2.6, д).

Чтобы при математических операциях не иметь дела с беско­нечностями, а также с дробными числами, используют величины, обратные отрезкам, отсекаемым плоскостью на кристаллографи­ческих осях, причем отношение этих величин приводят к отноше­нию трех наименьших целых чисел. Совокупность трех таких чисел (hkl), заключенную в круглые скобки и характеризующую ориентацию данной плоскости по отношению к кристаллографи­ческим осям, называют индексами плоскости (индексами Миллера). Заштрихованные плоскости на рис. 11 имеют следующие индексы:

( )=( ), ( )=( ), ( )=( ),

( )=( ) и ( )=( ).

Кристаллографические символы в скобках читают как «один, один, один», «один, один, ноль» и т.д.

Если плоскость пересекает кристаллографические оси в области отрицательных значений координат, то над соответствующими индексами ставят знак минус.

Определённый набор индексов, например ( ), характеризует ориентировку в пространстве на единственной плоскости, а всего семейства параллельных плоскостей по одну сторону от начала координат. Например, если на рис. 2.6.,б параллельно заштрихованной плоскости ( ) изобразить плоскости, отсекающие на осях x и y отрезки в два или три периода решётки, т.е. плоскости ( ) и ( ), то обе они будут относиться к семейству параллельных плоскостей ( ).

Если у всех индексов переменить знак на обратный, например ( ) вместо (110), то новые индексы будут характеризовать ориентировку того же семейства параллельных плоскостей, но расположенных по другую сторону от начала координат. Так как начало координат выбирают произвольно, то индексы (hkl) и ( ) всегда относятся к одному и тому же семейству параллельных плоскостей. В том случае, когда плоскость проходит через выбранное начало координат, для определения её индексов следует перенести начало координат в другую вершину элементарной ячейки или рассмотреть соседнюю плоскость, параллельную первой.

Рис. 2.6. Примеры кристаллографических плоскостей в кубической решетке

Непараллельные плоскости, имеющие одинаковое атомное строение, кристаллографически эквивалентны. Например, кристаллографически эквивалентные параллельные плоскости (100), (010) и (001). Вместе с параллельными им плоскостями ( ), ( ) и ( ) они образуют куб. Совокупность шести кристаллографически эквивалентных плоскостей (граней) куба обозначают индексами какой-нибудь одной плоскости (грани), заключенными в фигурные скобки, например индексами {100} или {001} и т.д.

Совокупность восьми кристаллографически эквивалентных плоскостей октаэдра – (111), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ),( ) – обычно обозначают индексами {111}. Совокупность всех двенадцати плоскостей ромбического додекаэдра обычно обозначают индексами {110}.

Плоскости куба {100}, октаэдра {111} и ромбического додекаэдра обычно обозначают индексами {110}.

Плоскости куба {100}, октаэдра {111} и ромбического додекаэдра {110} все время встречаются при анализе дефектов в кубических решётках. Плоскости с большими численными значениями индексов имеют очень малую плотность упаковки атомов и очень малые межплоскостные расстояния. Плоскости, у которых численное значение индексов превышает 3, редко рассматривают.

Таким образом, для определения индексов плоскости необходимо:

1) найти отрезки, отсекаемые плоскостью на кристаллографических осях, приняв за единицу измерения период решётки;

2) взять обратные значения этих чисел;

3) привести отношение полученных величин к отношению трёх наименьших целых чисел;

4) заключить полученные три числа в круглые скобки, если указывается определённое семейство параллельных плоскостей, или в фигурные скобки, если требуется обозначить совокупность всех кристаллографических эквивалентных плоскостей.

Контрольные вопросы

1. Дайте понятие “ряда” в кристаллической решетке.

2. Объясните, какую величину принимают за параметр ряда (или элементарную трансляцию).

3. Объясните, что такое элементарная ячейка.

4. Объясните, что называют “метрикой” кристаллической решетки.

5. Объясните, почему по “метрике” можно идентифицировать вещество.

6. Зарисуйте элементарный параллелепипед и укажите стандартные обозначения осей координат, элементарных углов и элементарных трансляций.

7. Дайте определение символа узла.

8. Дайте определение символа плоскости, индекса плоскости.

9. Объясните, что такое структурно-эквивалентные плоскости, как записать их символы в кубической ячейке.

10.Поясните, какие плоскости входят в семейство структурно-эквивалентных плоскостей (как различаются их индексы) в кубической ячейке.

11. Дайте определение символа направления, его записи.