Теорема Кантора. Следствие из теоремы Кантора

Теорема (Кантора). Пусть функция определена и непрерывна на , тогда она равномерно непрерывна на . (без доказательства).

Определение 3. Пусть функция определена и ограничена на , , . Разность называется колебанием функции на .

Следствие из теоремы Кантора. Пусть функция определена и непрерывна на . Тогда для сегмент можно разбить на части таким образом, чтобы колебание функции на каждой части было меньшим .

Доказательство. Поскольку непрерывна на , то по теореме Кантора равномерно непрерывна на , т.е. для , что для будет выполняться неравенство: . Разобьем на части точками так, чтобы длины всех полученных частичных сегментов были меньшими , т.е. . Возьмем произвольный частичный сегмент из множества . Пусть этот сегмент - . На этом сегменте возьмем произвольно две точки: . Поскольку , то , а потому из условия равномерной непрерывности имеем, что . Поскольку непрерывна на , то непрерывна на любом частичном сегменте . По второй теореме Вейерштрасса достигает на инфимума и супремума, т.е. , что

.

Колебание функции на частичном сегменте равняется:

,

что и нужно было доказать.

Вопросы

1. Понятие равномерной непрерывности функции. Чем равномерная непрерывность отличается от непрерывности функции?

2. Определение равномерно непрерывной на множестве функции.

3. Как связаны между собой непрерывность и равномерная непрерывность функции? Какое условие является более сильным? Объяснить.

4. Всегда ли из непрерывности функции на множестве вытекает ее равномерная непрерывность? В каком случае это происходит?

5. Теорема Кантора.

6. Определение колебания функции.

7. Чему равняется колебание функции на сегменте ?

8. Доказать следствие из теоремы Кантора.