Связь между непрерывностью и равномерной непрерывностью функции

Замечание 1. Если функция равномерно непрерывна на , то она непрерывна в каждой точке этого множества. Обратное, вообще говоря, не верно.

Действительно, пусть функция равномерно непрерывна на , тогда для нее имеет место определение 1. Переобозначим: , тогда из определения 1 получим определение непрерывности функции в точке , которое базируется на определении предела функции по Коши.

Замечание 2. Не любая функция , непрерывная на множестве , будет равномерно непрерывной на этом множестве.

Определение 2. Функция не будет равномерно непрерывной на , если , что для , а .

Пример. Доказать, что функция не будет равномерно непрерывной на множестве .

Заметим, что функция является непрерывной на .

Возьмем . Понятно, что для обязательно найдется , что (действительно, для этого должно быть бóльшим ). Тогда, если , то для , а .

Таким образом, действительно не будет равномерно непрерывной на множестве .