Первая теорема Больцано-Коши

Лекция 7. Функции, непрерывные на сегменте (продолжение)

План

Первая теорема Больцано-Коши

Вторая теорема Больцано-Коши

Первая теорема Больцано-Коши

Теорема 1.Пусть функция определена и непрерывна на , а на концах сегмента принимает значения разных знаков, то есть . Тогда существует такая точка , что .

Доказательство. Пусть для определенности . Разобьем точкой пополам (рис.1). Если , то все доказано. Если , то на концах одного из сегментов , функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его (рис.1). Для него: . Будем обозначать длину сегмента как . Тогда .

Сегмент поделим пополам точкой . Если , то все доказано. Если , то на концах или функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его . Для него: , .

Продолжим этот процесс. Тогда на м шаге возможны две ситуации:

1. , тогда все доказано;

2. . На концах или функция будет иметь значения разных знаков. Выберем именно этот сегмент и обозначим его . Для него: , .

Предположим, что ни на каком шаге функция в средней точке рассматриваемого сегмента не имеет значения 0. В ходе доказательства мы получили бесконечную последовательность вложенных сегментов:

, (1)

для которых , поэтому

. (2)

Из (2) по определению границы последовательности вытекает, что

для , что для : , т.е. для в построенной последовательности (1) вложенных сегментов существуют такие, длина которых будет меньше . Тогда по лемме о вложенных сегментах из этого будет вытекать, что последовательность (1) вложенных сегментов имеет лишь одну общую точку. Обозначим эту точку ; для : , а поскольку длины сегментов стремятся к нулю, когда (равенство (2)), то

. (3)

Из (3) очевидно, что мы имеем две сходящихся последовательности: , , которые сходятся к точке . Поскольку по условию теоремы функция непрерывна везде на , то она непрерывна и в точке . Тогда по определению непрерывности функции по Гейне:

Поскольку для : , то

. (4)

Поскольку для : , то

. (5)

Сравнивая (4) и (5), имеем:

.

Таким образом, искомая точка найдена, теорема доказана.