Еквівалентні функції

Лекція 50. Ряд Фур’є по ортогональній системі функцій

План

1. Еквівалентні функції
2. Визначення системи ортогональних функцій. Система ортонормованих функцій
3. Тригонометричні системи ортогональних функцій
4. Визначення ряду Фур’є по ортогональній системі функцій

Еквівалентні функції

Основою теми «Ряд Фур’є по ортогональній системі функцій» – це визначений інтеграл Римана. Відомо, що значення інтегралу не зміниться, якщо значення підінтегральної функції змінити в скінченній кількості точок.

Визначення 1. Будемо називати функцію кусково-неперервною на , якщо вона має на цьому сегменті скінчену кількість точок розриву, є інтегрованою на (можливо, навіть, у сенсі невласного інтегралу).

Визначення 2. Дві кусково-неперервні функції і будемо називати еквівалентними на і позначати ~ , якщо їх значення різні лише в скінченній кількості точок з .

Для еквівалентних функцій ~ мають місце наступні властивості:

1) ;

2) для будь-якої функції ~ ;

3) якщо ~ , то ~ ;

4) якщо ~ , і ~ , то ~ .

Таким чином, відношення «~» є відношенням еквівалентності на множині кусково – неперервних функцій, а це приводе до того, що множина кусково – неперервних функцій розпадається на класи еквівалентності. Між цими класами можливо ввести лінійні операції:

1) Складання двох класів (складання двох представників з классів);

2) Множення класу на дійсне число.

Таким чином, множину класів еквівалентних функцій ми перетворили в лінійний простір. Будемо позначати цей простір .