Визначення ряду Фур’є по ортогональній системі функцій

Нехай і

, (5)

де - ортогональна система функцій на . Припустимо, що рівність (5) можливо почленно інтегрувати (це можливо, наприклад, тоді, коли ряд в правій частині рівності (5) збігається рівномірно). Домножимо (5) на і проінтегруємо:

(6)

Всі інтеграли в правій частині останньої рівності дорівнюють 0, крім -го, завдяки ортогональності системи функцій . Тоді (6) можна записати в вигляді:

,

звідки

(7)

Щоб визначити по формулі (7) немає необхідності вимагати почленного інтегрування ряду (5), достатньо, щоб і були інтегрованими, а це дійсно так, бо і .

Тому можна поставити в співвідношення ряд

(8)

де визначаються по формулі (7).

Ряд (8) називається рядом Фурьє для по ортогональній системі

Запишемо ряд Фурьє для по ортогональній системі функцій

,

де

;

;

, .

Питання

1. Яка функція називається кусково-неперервною на ? Навести приклади таких функцій?

2. Як значення інтегралу Римана від функції залежить від значення цієї функції в скінченній кількості точок?

3. Які функції і називаються еквівалентними на ? Навести приклади еквівалентних функцій.

4. Властивості відношення «~» для кусково-неперервних функцій.

5. Яка система функцій з називається ортогональною?

6. Що називається нормою ?

7. Яка ортогональна система функцій з називається ортонормальною?

8. Як ортогональну систему можливо зробити ортонормальною?

9. Які системи функцій називаються основними тригонометричними системами?

10. Що називається рядом Фурьє для по ортогональній системі ?