Обчислення потрійних інтегралів

Нехай - прямокутний паралелепіпед (рис.2), який проектується на YOZв прямокутник . Для такого має місце наступна теорема.

Теорема 2. Якщо для функції існує потрійний інтеграл і для будь-якого фіксованого існує подвійний інтеграл

,

то існує і повторний інтеграл:

і

.

Якщо далі припустити, що для будь-яких і існує інтеграл , то

. (1)

При потрібному існуванні інтегралів змінні в інтегруванні в формулі (1) можливо міняти місцями.

Рис.2.

Зауваження. Можна показати, що якщо існує потрійний інтеграл і інтеграл для будь-яких і , то

,

где .

Нехай має довільну форму, функція визначена на . Побудуємо - прямокутний паралелепіпед, який містить у собі , і визначимо на ньому функцію :

Цим шляхом отримаються всі нижчі формули.

Нехай тіло знаходиться між площинами (рис.3), і кожною площиною , перпендикулярною осі ОХ, де , перетинається по деякій фігурі з площею , проекцію якої на площину YOZпозначимо (рис.3).

Рис.3

Тоді

(2)

в припущенні існування подвійного і потрійного інтегралів.

Нехай - циліндричний брус з твірною, паралельною осі OZ, обмежений знизу і зверху відповідно поверхнями (рис.4):

Тоді аналогічно (2) маємо:

, (3)

Рис.4.

якщо припустити існування потрійного і простого інтегралів.

Приклад. Обчислити , де область визначається наступним чином (рис.5):

Тоді

.