Обчислення довжини дуги меридіана
Обчислення довжини дуги меридіана Х, згідно (2.49), зводиться до знаходження еліптичного інтегралу
(2.51)
який в елементарних функціях не береться. Одним із класичних шляхів його знаходження є розклад підінтегрального виразу в біномінальний ряд з подальшим почленним інтегруванням. Маємо
Замінивши в цьому виразі парні степені синуса косинусами кратних дуг згідно відомих рівнянь
та згрупувавши постійні члени і позначивши їх буквами , отримаємо
Звідси, після почленного інтегрування і підстановки границь, знайдемо остаточно
(2.52)
Коефіцієнти визначаються із наступних виразів, основним аргументом яких є ексцентриситет еліпсоїда
(2.53)
За формулою (2.52) можна знайти довжину дуги земного меридіана будь-якої довжини, взявши при цьому необхідну кількість членів розкладу.
Для обчислення довжини дуги меридіана від екватора ( ) до будь-якої паралелі з широтою В , формула (2.52) отримає наступний вид
(2.54)
Формулу (2.54) можна представити ще в такому виді
, (2.55)
де коефіцієнти визначаються через параметри прийнятого еліпсоїда
(2.56)
Формулами (2.55) і (2.56) ми будемо користуватися в розділі 4.
Вираз для довжини дуги меридіана при малих відстаннях (довжини сторін або ланки тріангуляції 1 класу) можна отримати на основі застосування формули Тейлора з введенням середнього аргумента.
Позначимо довжини дуг меридіанів від екватора до точок з широтою та через та . Крім того,
. Тоді можна написати
(2.57)
Приймаючи різницю широт між двома точками малою величиною, запишемо ряд за степенями DВ
,
або
(2.58)
Індекс “m” при коефіцієнтах цього ряду означає, що вони обчислюються за середнім аргументом . Похідні (і=1,3), можна знайти на основі першої формули (2.49) послідовним диференціюванням:
Тут визначається формулою (2.21).
Останній вираз з точністю до членів з можна записати
Підставивши значення похідних у (2.58), остаточно отримаємо
,(2.59)
де Mm обчислюється через Bm за формулою (2.39).
Другий член в правій частині формули (2.59) на широтах 45-55° складає всього лише 0,002м при . Тому для малих різниць широт DВ, дугу меридіана можна розглядати як дугу кола з центральним кутом, який рівний різниці широт її крайніх точок , і описану радіусом меридіанного перерізу, рівному Mm , тобто
(2.60)
Наближенене значення інтегралу можна обчислити на основі застосування чисельних методів розв'язування означених інтегралів. Серед них: формули трапецій, Сімпсона, Гаусса, Чебишева тощо. В розділі 1 приведено два методи обчислення інтегралу : формули (1.10) для методу Сімпсона та (1.11) для методу Гаусса. Застосуємо вказані формули для обчислення довжини дуги меридіана між точками з широтами та .
В першому випадку розділимо інтервал інтегрування на дві частини з кроком . Для кожної вузлової точки з кроком за аргументом знаходимо значення підінтегральної функції . Тоді, згідно (1.10), отримаємо
. (2.61)
При застосуванні формули (1.11) виберемо дві вузлові точки (і=2). З врахуванням даних табл.1.1, визначимо аргументи функції . При аргументом буде значення широти , а при - . Остаточно, формула для обчислення довжини дуги меридіана методом Гаусса, буде
. (2.62)
Вказані формули є рівноточними і дозволяють обчислювати довжину дуги меридіана при різниці широт до з похибкою м. Для розширення широтного діапазону треба ділити інтервал інтегрування на більшу кількість частин (для методу Сімпсона) або вибирати більшу кількість вузлових точок (для методу Гаусса).
Можна поставити обернену задачу: при відомій довжині дуги меридіана і її середній широті чи , знайти різницю широт кінцевих точок чи широту .
Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 1622;