Умова існування подвійного інтегралу

Лекція 45. Властивості подвійного інтегралу

План

1. Умова існування подвійного інтегралу
2. Класи інтегрованих функцій
3. Властивості інтегрованих функцій і подвійних інтегралів
4. Формула Гріна

Умова існування подвійного інтегралу

Нехай в області визначена функція .

Теорема 1 (необхідна умова існування подвійного інтеграла). Якщо функція інтегрована на , вона обмежена на .

Нехай обмежена на . Розібємо область кривими на скінченну кількість часток , ,..., , площі яких відповідно дорівнюють . Позначимо:

.

Визначення 1. Нижньою (верхньою) сумою Дарбу від функції на області , що відповідає побудованій розбивці області на частки , ,..., , називається

.

Властивості сум Дарбу для функції двох змінних аналогічні властивостям сум Дарбу для функції одної змінної. Аналогічно визначаються нижній і верхній інтеграли Дарбу.

Теорема 2 (критерій існування подвійного інтегралу). Для того, щоб функція була інтегрована на , необхідно і достатньо, щоб

.