Зведення криволінійного інтегралу І роду до інтегралу Римана

Припустимо, що на кривій обрано напрямок від до (один з двох можливих). Тоді положення довільної точки на кривій може бути визначено не тільки її координатами , а і довжиною дуги , яка відраховується від початкової точки . Тоді крива може бути параметрично визначена наступним чином:

,

де - довжина всієї кривої . Функція , яка визначена вздовж кривої , зведеться до складної функції від змінної .

Позначимо значення довжин дуг, які відповідають на кривій точкам , через , тоді

.

Позначимо через , значення довжини дуги, які визначають положення точок . Тоді

,

тобто інтегральна сума для криволінійного інтеграла І роду є одночасно інтегральною сумою для звичайного визначеного інтегралу Римана, тому маємо:

, (40)

(де означає звичайний інтеграл Римана), до того ж існування одного інтеграла веде за собою існування іншого.

Будемо далі припускати, що функція , яка визначена на кривій , є неперервною. Нехай тепер проста крива визначена довільними параметричними рівняннями:

, (45)

де функції - неперервні. Тоді крива є спрямлюваною і, якщо зростання дуги відповідає зростанню параметра , то (як відомо з теми «Застосування інтеграла Римана»)

. (50)

Тоді

Таким чином, в випадку, коли крива визначена параметрично за допомогою (45), формула зведення криволінійного інтегралу І типу до інтеграла Римана має вид:

. (60)

Нехай тепер крива визначена за допомогою звичайного рівняння:

, (70)

тоді для того, щоб застосувати формулу (60) в цьому випадку, приведемо завдання кривої (70) до параметричного виду звичайним способом, розглядаючи змінну як параметр:

.

Формула (60) приймає вид:

. (80)

Приклад. Обчислити криволінійний інтеграл І типу , де - це чверть еліпсу , яка знаходиться в І квадранті.

Перейдемо до параметричного завдання потрібної частки еліпсу:

.

Тоді

.

Питання

1. Побудова інтегральної суми для криволінійного інтеграла І роду.
2. Визначення криволінійного інтеграла І роду.
3. Формула зведення криволінійного інтеграла І роду до інтеграла Римана у випадку, коли крива визначена параметрично.
4. Формула зведення криволінійного інтеграла І роду до інтеграла Римана у випадку, коли крива визначена звичайним способом.