Системы эконометрических уравнений

6.1. Системы уравнений используемых в эконометрике.В предыдущих параграфах рассмотрено моделирование экономических взаимосвязей одним уравнением. Однако, некоторые экономические процессы моделируется не одним, а несколькими уравнениями, содержащие как повторяющиеся, так и собственные переменные, описывающие многосторонние реальные взаимоотношения между экономическими показателями. В одних уравнениях определенная переменная рассматривается как факторный признак, а в другое уравнение эта переменная входит как результативный признак. Поскольку отдельные уравнения системы не могут рассматриваться изолированно друг от друга, то и деление переменных на зависимую и независимые теряет смысл. При рассмотрении систем эконометрических уравнений различают следующие переменные:

- эндогенные – это переменные, являющиеся экономическими факторами, которые описываются уравнениями модели, их значения зависят от внутренней структуры моделируемого экономического процесса;

- экзогенные, являющимися внешними наперед заданными экономическими величинами независимо от структуры модели, т. е. они задаются извне и объясняются экономическими факторами и закономерностями, находящимися за границами модели. Экзогенные переменные определяют эндогенные, но не находятся под их влиянием, т.е. между ними существуют только односторонние стохастические связи.

- предопределенные - переменные, значения которых отстают на один или несколько периодов, т.е. лаговые переменные. Лаговыми переменными могут быть: а) обычные экзогенные переменные, так как они определяются вне модели; б) лаговые экзогенные переменные, так как их значения принадлежат предшествующим периодам и определяются вне модели; в) лаговые эндогенные переменные, так как они определяются из предшествующей модели. Лаговые переменные можно отнести к заранее заданным экзогенным.

- совместно – зависимые переменные – это эндогенные переменные, которые определяются моделью, так как между ними существуют многосторонние связи, и они определяются не одним уравнением, а системой уравнений;

- возмущающие, или латентные переменные – это экономические факторы, не входящие в уравнения системы, но оказывающие влияние на совместно зависимые переменные, которые формируются за счет случайных влияний и ошибок, допущенных при построении модели.

Эконометрическая модель может быть представлена системами различных видов в зависимости от цели и задач исследования.

Структурная модель, записанная в матричном виде:

,

где и прямоугольные матрицы, а - матрицы – столбцы:

Структурная форма модели содержит всю существенную информацию об односторонних и многосторонних стохастических отношениях между экономическими факторами. Уравнения, составляющие эту модель, называются структурными уравнениями.

Если в структурной модели матрица имеет треугольный вид:

,

то соответствующая модель называется рекурсивной моделью.

Структурная модель, записанная в виде:

,

где - обратная матрица для матрицы , называется приведенной формой модели. В приведенной форме модели совместно зависимые переменные являются линейными функциями от предопределенных и возмущающих переменных.

Если модель состоит только из уравнений, в каждом из которых только одна эндогенная переменная выражается через экзогенные переменные, то она называется системой независимых уравнений.

Рассмотрим примеры некоторых моделей.

1. Модель «Спрос – предложение».

Система одновременных уравнений используется при моделировании спроса – предложения в рыночных условиях. Предполагая, что спрос и предложение в любой момент времени являются линейными функциями, получаем следующую систему:

Уравнение (6.1) определяет функцию спроса, (6.2) - функцию предложения, (6.3) - условие равновесия. Наличие в уравнениях случайных отклонений и , связано с отсутствием ряда важных факторных признаков: дохода, цен сопутствующих товаров, налогов, цен на ресурсы и т. п. Модель (6.1) – (6.3) может быть усовершенствована введением новых факторных признаков. В данной модели «спрос – предложение», переменные спроса , предложения и цена - эндогенные, так как определяются из решения модели.

2. Кейнсианская модель формирования доходов.

Простейшая кейнсианская модель формирования доходов в предположении, что рассматривается закрытая экономика без государственных расходов, описывается системой одновременных уравнений вида:

Уравнение (6.4) описывает функцию потребления. (6.5) – макроэкономическое тождество. Переменные - значения совокупного выпуска (ВНП) , объема потребления и инвестиций в момент времени соответственно.

В кейнсианской модели формирования доходов, переменные и - эндогенные, а переменная - экзогенная, поскольку определяется вне модели, и считается заранее заданной. Если подставить из (6.5) в (6.4), то обе переменные и можно выразить через экзогенную переменную :

‍‍ (6.6)

(6.7)

Коэффициент в (6.7) называется денежным мультипликатором, определяющим, на какую величину увеличивается совокупный доход при увеличении объема инвестиций на единицу, а коэффициент - мультипликатором потребления, определяющим величину увеличения потребления при увеличении объема инвестиций на единицу.

3. Модель IS – LM.

Простейшая модель равновесия на рынке товаров описывается системой одновременных уравнений вида:

Функция потребления: (6.8)

Функция налогов: (6.9)

Функция инвестиций: (6.10)

Располагаемый доход: (6.11)

Государственные расходы: (6.12)

Макроэкономическое тождество: (6.13)

Переменные в модели, описывают значения в момент времени национального дохода , потребления , желаемого объема чистых инвестиций , государственных расходов (в данной модели расходы постоянные величины ), объема налогов , располагаемого дохода , процентной ставки . Подставим (6.9) в (6.11) и полученный результат в (6.8). После упрощения, результат и (6.10), (6.12) подставим в (6.13). В результате получим уравнение кривой IS:

,

где , определяющей соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором рынок товаров находится в равновесии.

Линия равновесия на рынке денег (линия LM) определяет такое соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором спрос на деньги равен их предложению. Одна из форм модели определяется следующей системой одновременных уравнений:

Функция спроса на деньги: (6.14)

Функция предложения денег: (6.15)

Условие равновесия: (6.16)

Разрешив (6.14) относительно и воспользовавшись (6.15), (6.16), получим уравнение линии LM:

.

Точка пересечения кривых IS и LM определяет соотношение между процентной ставкой и уровнем дохода, при котором оба рынка находятся в состоянии равновесия. Эта точка находится из решения системы уравнений:

Структурные уравнения модели можно подразделить на поведенческие уравнения и уравнения – тождества. В поведенческих уравнениях описываются зависимости между переменными, а в уравнениях – тождествах соотношения, которые должны выполняться во всех случаях. Тождества не содержат подлежащие оценке параметры и случайные составляющие.

Уравнения, в которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные или предопределенные переменные, а также случайные составляющие, называются приведенными уравнениями (уравнениями в приведенной форме). Предопределенными переменными называются лаговые эндогенные переменные, значения которых определены до рассмотрения уравнений. Например, уравнение спроса в модели «спрос – предложение» может быть представлено в виде:

,

где переменная , характеризующая цену товара в предыдущий момент времени, является предопределенной переменной.

6.2. Проблема идентифицируемости модели. Необходимое и достаточное условие идентифицируемости.Изменение формы уравнений модели позволяет устранить проблему коррелированности факторных признаков и случайных отклонений, но может привести к другой проблеме – проблеме идентификации. Под идентификацией понимается возможность численной оценки параметров структурных уравнений по оценкам коэффициентов приведенных уравнений.

Исходную систему уравнений называют идентифицируемой (точно определенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно однозначно определить значения коэффициентов структурных уравнений. Однозначно определить коэффициенты структурных уравнений по коэффициентам приведенных уравнений можно в том случае, если количество уравнений, связывающих коэффициенты, равно количеству коэффициентов. Так, например, в модели Кейнса (6.6) – (6.7):

где , , объем инвестиций является экзогенной переменной и она не коррелирует со случайной составляющей. Это означает, что для случайной составляющей выполняются предпосылки МНК и оценки параметров будут статистически значимыми. Зная , находим значения коэффициентов и : . Следовательно, система (6.6) – (6.7) идентифицируема.

Исходную систему уравнений называют неидентифицируемой (недоопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений можно получить несколько вариантов значений коэффициентов структурных уравнений. Это случай когда число уравнений, связывающих коэффициенты, меньше числа определяемых коэффициентов.

Исходную систему уравнений называют сверхидентифицируемой (переоопределенной), если по коэффициентам приведенных уравнений невозможно определить значения коэффициентов структурных уравнений. В этом случае система, связывающая коэффициенты, несовместна.

Рассмотрим модель «спрос – предложение»

Построим приведенные уравнения, воспользовавшись условием равновесия (6.3):

(6.17)

Последовательно разрешаем данное уравнение относительно :

,

где - случайный член. Подставив найденное значение в одно из уравнений (6.1) или (6.2), найдем :

, .

Система уравнений является приведенной. Применив МНК, найдем оценки параметров и . Система (6.1) – (6.3) имеет четыре неизвестных параметра . Для определения неизвестных параметров мы можем составить два уравнения и, следовательно, мы не сможем однозначно определить параметры . Это означает неидентифицируемость исходной системы уравнений.

Рассмотрим эту же модель «спрос – предложение». Добавим в функцию спроса экзогенные переменные: - доход потребителей и - объем сбережений, а в функцию предложения – цену в предшествующий период. Получим модель с числом экзогенных переменных, превышающих количество структурных уравнений:

Воспользовавшись условием рыночного равновесия, можно преобразовать уравнения к системе приведенных уравнений где

(6.18)

.

В системе (6.18), связывающей коэффициенты приведенных и структурных уравнений, восемь уравнений и семь коэффициентов структурных уравнений. Поскольку соотношения (6.18) противоречивы, то однозначное определение структурных коэффициентов невозможно. В данном случае имеет место сверхидентифицируемость (переоопределенность).

Для определения идентифицируемости структурных уравнений применяются необходимые и достаточные условия. Прежде чем их сформулировать введем следующие обозначения:

- - число одновременных уравнений относительно эндогенных переменных;

- - число экзогенных или предопределенных переменных в системе;

- и - количество эндогенных и экзогенных переменных в проверяемом на идентифицируемость уравнении;

- и количество эндогенных и экзогенных переменных не входящих в проверяемое уравнение, но входящих в другие уравнения системы (исключенные переменные из данного уравнения).

Первое необходимое условие. Уравнение идентифицируемо, если оно исключает, по крайней мере, переменную (эндогенную или экзогенную), присутствующую в модели:

Второе необходимое условие. Уравнение идентифицируемо, если количество исключенных из уравнения экзогенных переменных не меньше количества эндогенных переменных в этом уравнении, уменьшенного на единицу:

Знаки равенства в необходимых условиях соответствуют точной идетификации уравнения.

Необходимое и достаточное условия идентифицируемости. В модели, содержащей уравнений относительно эндогенных переменных, условие идентифицируемости выполняется тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из исключенных из данных уравнений переменных, но входящих в другие уравнения системы, равен .

Рассмотрим применение данных условий для определения идентифицируемости структурных уравнений.

1.В модели «спрос – предложение»

Для каждого из уравнений число эндогенных и экзогенных переменных равно: Так как , а , то не выполняется первое необходимое условие: . Следовательно, оба уравнения неидентифицируемы.

2.В модели в функцию спроса добавлена экзогенная переменная – доход потребителей, и в этой системе . Для первого уравнения , а для второго . Тогда для первого уравнения , а для второго . Это значит, что первое уравнение неидетифицируемо, а второе идентифицируемо. Следовательно, функция предложения определяется однозначно.

3. В модели оба уравнения точно идентифицируемы, так как и выполняется необходимое условие .

4.В модели первое уравнение точно идентифицируемо, так как и выполняется равенство . Второе уравнение является переопределенным, поскольку и .

5.Оценим уравнения следующей структурной модели на идентифицируемость:

В данной модели три эндогенные переменные - и три экзогенные переменные - , т.е. . В первом уравнении . Тогда . Следовательно, первое уравнение точно идентифицируемо. Построим матрицу из коэффициентов при переменных и , отсутствующих в данном уравнении:

.

Ранг этой матрицы равен 2 ( ), следовательно, выполняется достаточное условие идентифицируемости. Подтверждается вывод сделанный по необходимому условию.

Для второго уравнения и выполняется равенство: . Данное уравнение также точно идентифицируемо. Проверим выполнимость достаточного условия. Для этого построим матрицу из коэффициентов при неизвестных и отсутствующих во втором уравнении:

.

Ранг этой матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентифицируемости, что подтверждает точную идентифицируемость уравнения.

Для третьего уравнения выполняется равенство , так как и ранг матрицы

равен 2, что определяет точную идентифицируемость уравнения.

6.3. Методы оценивания параметров структурной модели. Косвенный метод наименьших квадратов. Двухшаговый метод наименьших квадратов. Раньше отмечалось, что если выполняются предпосылки применения МНК, то оценки параметров функции регрессии являются несмещенными, эффективными и состоятельными. МНК применяется и для оценки параметров некоторых структурных коэффициентов. Так, например, применение МНК для оценки структурных коэффициентов рекурсивной модели дает состоятельные оценки при соблюдении определенной последовательности действий. Сначала оцениваются параметры первого уравнения, в правой части которого содержатся только предопределенные переменные, т. е. эндогенная переменная зависит только от экзогенных переменных и возмущающей переменной . Найденное значение подставляется во второе уравнение, т. е. она становится предопределенной переменной. Затем оцениваются параметры второго уравнения и т.д.

Метод наименьших квадратов не может применяться к оценке параметров структурных уравнений, так как они не учитывают одновременных соотношений между совместно зависимыми переменными. Поскольку в результате непосредственного применения МНК для каждого из уравнений модели получаем смещенные и несостоятельные оценки параметров, то разработан косвенный метод наименьших квадратов получения оценок, основанный на использовании приведенных уравнений.

Рассмотрим применение этого метода для кейнсианской модели формирования доходов (6.4) – (6.5). В приведенной форме эта модель выражается в виде двух уравнений (6.15) – (6.16):

или , (6.15)

, , (6.16)

где . Поскольку объем инвестиций является экзогенной переменной и, следовательно, переменная не коррелирует со случайными переменными , то для или выполняются предпосылки МНК. Применив метод наименьших квадратов для определения коэффициентов , несложно найти значения коэффициентов по формулам:

.

Определение оценок посредством преобразований уравнений к приведенной форме называется косвенным методом наименьших квадратов (КМНК).

Оценки, полученные по КМНК, являются состоятельными и они получаются однозначно, а соответствующее уравнение называется идентифицируемым (однозначно определенным).

Устранить коррелированность эндогенных переменных со случайным отклонением можно при помощи введения инструментальной переменной (ИП) , удовлетворяющей следующим свойствам: она должна коррелировать с заменяемой эндогенной переменной , но не коррелировать со случайными отклонениями .

Так в структурном уравнении функции потребления (6.4) модели Кейнса, в качестве инструментальной переменной для можно использовать . Полученные оценки и МНК, при использовании инструментальной переменной , будут состоятельными оценками.

Рассмотрим еще один метод оценивания параметров, который учитывает многосторонние связи совместно зависимых переменных – двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК). Суть этого метода состоит в поэтапном применении обычного метода наименьших квадратов для оценивания параметров структурного уравнения. Он применяется для нахождения инструментальной переменной, если в уравнении имеется избыток экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные. На первом шаге ДМНК оценивается переопределенная переменная, опираясь лишь на экзогенные переменные. На втором этапе подставляем полученную оценку переопределенной переменной в исходную модель и получаем систему приведенных уравнений, для оценки параметров которой (приведенной системы) применяем МНК. В результате получаем состоятельные оценки структурных коэффициентов. При наличии в модели более одной переопределенной переменной на первом этапе необходимо оценить все такие переменные, выразив их через экзогенные и предопределенные переменные.

Пример 6.1.Рассмотрим эмпирические данные, характеризующие ВНП ( ), потребление ( ) и инвестиции , таблица 6.1.

Таблица 6.1

Предположим, что изучается закрытая экономика без государственных расходов, описываемая кейнсианской моделью:

Оценим параметры и на основе КМНК.

Р е ш е н и е. В п. 6.2 было показано, что модель Кейнса идентифицируема (количество уравнений, связывающих коэффициенты, равно количеству коэффициентов). Применив МНК для оценки параметров и первого уравнения, описывающего функцию потребления, получим:

. Если же применить косвенный метод наименьших квадратов, то получим следующее уравнение: . В данном уравнении потребление выражается через экзогенную переменную , характеризующую инвестиции. В первом случае, потребление выражено через эндогенную переменную , которая в свою очередь выражается через потребление и инвестиции. Применив формулы , находим значения структурных коэффициентов исходной модели

,

которые являются несмещенными и состоятельными оценками. Следовательно, кейнсианская модель имеет вид:

Литература

1. Болш Б., Хуан K.Дж. Многомерные статистические методы для экономики. M.: Статистика, 1979.

2. Булдык Г.M. Теория вероятностей и математическая статистика. Mн.: Выш. шк, 1989.

3. Булдык Г.М. Статистическое моделирование и прогнозирование: Учебник. – Мн.: НО ООО «БИП-С», - 2003.

4. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математические понятия и формулы в экономическом анализе. M.: Статистика, - 1974.

5. Гренджер K., Хатанака M. Спектральный анализ временных рядов в экономике. M.: Мир, 1973.

6. Демиденко E.З. Линейная и нелинейная регрессия. M.: Финансы и статистика, 1981.

7. Джонсон Дж. Эконометрические методы. M.: Статистика, 1980.

8. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. M.: Статистика, 1973.

9. Имитационное и статистическое моделирование. / Ю.С.Харин, В.И. Малюгин, В.П.Кирилица и др. Mн.: Университетское, 1992.

10. Казинец Л.С. Темпы роста и структурные сдвиги в экономке. M.: Экономика, 1981.

11. Казмер Л. Методы статистического анализа в экономке. M.: Статистика, 1972.

12. Кендалл M.Дж. Временные ряды. M.: Финансы и статистика, 1981.

13. Кендалл M.Дж., Стюарт A. Многомерный статистический анализ и временные ряды. - M.: Наука, 1976.

14. Кильдешев Г.С., Френкель A.A. Анализ временных рядов и прогнозирование. M.: Статистика, 1973.

15. Максимей И.В. Математическое моделирование больших систем. Mн.: Выш. шк., 1985.

16. Персан M. Слейтер A. Динамическая регрессия: Теория и алгоритмы. M.: Финансы и статистика, 1984.

17. Сиськов В.И. Корреляционный анализ в экономических исследованиях. M.: Статистика, 1975.

18. Тейл Г. Прикладное экономическое прогнозирование. M.: Прогресс, 1970.

19. Ферстер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа. M.: Финансы и статистика, 1990.

20. Четыркин E.M. Статистические методы прогнозирования. M.: Статистика, 1977.

Содержание

Предисловие……………………………………………………………..4

Введение…………………………………………………………………6

В.1. Основные понятия и принципы моделирования социально- экономических систем……………………………………….

В.2. Классификация математических методов и моделей……... 8

В.3. Этапы построения математических моделей……………….12

1. Парная регрессия и корреляция……………………………….13

1.1.Понятие о функциональной, статистической и

корреляционной зависимостях ……………………………..13

1.2. Основные задачи прикладного корреляционно-

регрессионного анализа…………………………………… 16

1.3. Выбор формы однофакторной регрессионной модели……..18

1.4. Основные предпосылки применения метода наименьших

квадратов в аппроксимации связей признаков социально-

экономических явлений (условия Гаусса – Маркова)…… 17

1.5. Построение регрессионной прямой методом наименьших

квадратов…………………………………………………….. 19

1.6. Измерение интенсивности линейной корреляционной

связи…………………………………………………………. 22

1.7. Нелинейная регрессия и корреляция………………………..26

1.8. Проверка существенности оценок параметров

регрессии, коэффициентов корреляции и детерминации….31

1.9. Оценка адекватности регрессионной модели………………35

1.10. Пример построения однофакторной регрессионной

модели……………………………………………………… 38

2. Многофакторные регрессионные модели…………….. 42

2.1. Построение многофакторной линейной регрессионной

модели…………………………………………………………42

2.2. Многофакторная линейная регрессионная модель в

нормированной размерности………………………………..46

2.3. Линейная частная регрессия…………………………………47

2.4.Отбор важнейших факторов многофакторных

регрессионных моделей…………………………………….48

2.5. Измерение интенсивности множественной связи…………. 50

2.6. Проверка статистической существенности (значимости)

параметров множественной регрессии и показа­телей

интенсивности корреляционной связи……………………. 57

2.7. Проверка выполнимости предпосылок МНК.

Статистика Дарбина – Уотсона…………………………….. 63

2.8. Оценка адекватности многофакторной регрессионной

Модели……………………………………………………… 64

2.9. Построение многофакторной регрессионной модели…… 66

3. Прогнозирование взаимосвязей экономических

явлений на основе факторных регрессионных моделей…71

4. Эконометрический анализ при нарушении классических модельных предположений…………………………………...78

4.1. Гетероскедастичность. Критерии Парка и Голдфелда –

Квандта для обнаружения гетероскедастичности…………….78

4.2. Методы смягчения проблемы гетероскедастичности………...81

4.3. Автокорреляция остатков регрессионной модели.

Критерий Дарбина – Уотсона…………………………………..83

4.4. Мультиколлинеарность экзогенных переменных.

Методы устранения мультиколлинеарности…………………..86

5.Модели с дихотомическими (фиктивными) переменными.89

5.1. Необходимость использования фиктивных переменных……...89

5.2. Регрессионные модели с количественными и

качественными переменными………………………………… ..89

5.3. Модели с фиктивными результативными признаками………...92

6. Системы эконометрических уравнений……………………94

6.1. Системы уравнений используемых в эконометрике…………..94

6.2. Проблема идентифицируемости модели. Необходимое

и достаточное условие идентифицируемости…………………98

6.3. Методы оценивания параметров структурной модели.

Косвенный метод наименьших квадратов.

Двухшаговый метод наименьших квадратов………………….102

Литература…………………………………………………….105

Учебное издание