Эконометрический анализ при нарушении классических модельных предположений

4.1. Гетероскедастичность. Критерии Парка и Голдфелда – Квандта для обнаружения гетероскедастичности.При нахождении оценок коэффициентов эмпирических регрессий по наблюдениям необходимо следить за выполнимостью предпосылок МНК, так как при их нарушении МНК может давать оценки с плохими статистическими свойствами. Одной из предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий:

дисперсия случайной переменной (случайных отклонений) должна быть одинакова и постоянна для всех : для любых наблюдений и .

Это свойство возмущающей переменной называется гомокедастичностью. Непостоянство дисперсии возмущающей переменной называется гетероскедастичностью.

Данное условие подразумевает, что, несмотря на то, что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть большим или маленьким, положительным или отрицательным, не может быть некой априорной причины, вызывающей большее отклонение при одних наблюдениях и меньшее – при других.

При невыполнимости данной предпосылки (при гетероскедастичности) последствия применения МНК могут быть следующими.

1. Оценки коэффициентов остаются несмещенными и линейными.

2. Оценки не будут эффективными (т.е. они не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками данного параметра). Они не будут и асимптотически эффективными. Увеличение дисперсии оценок снижает вероятность получения максимально точных оценок.

3. Дисперсии оценок будут рассчитываться со смещением, так как дисперсия не является более несмещенной.

4. Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе соответствующих и статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы, полученные при стандартных проверках значимости коэффициентов уравнения регрессии, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а, следовательно, статистики будут завышены. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, которые таковыми не являются.

Для обнаружения гетероскедастичности применяются различные методы: графический анализ отклонений, критерии ранговой корреляции Спирмена, Парка, Глейзера, Голдфелда – Квандта.

Рассмотрим критерий Парка. Предположим, что дисперсия отклонений является функцией го значения факторного признака, которая описывается функцией , где - неизвестная константа. Прологарифмировав эту функцию, получим . Так как дисперсии неизвестны, то их заменяют оценками квадратов отклонений . Применение критерия Парка включает следующие шаги.

1. Строится уравнение регрессии .

2. Для каждого наблюдения определяются .

3. Строится регрессия

. (4.1)

В случае множественной регрессии зависимость (4.1) строится для каждого факторного признака.

4. Проверяется статистическая значимость коэффициента уравнения (4.1) при помощи статистики . Если коэффициент статистически значим, то это свидетельствует о наличии связи между и , т.е. о наличии гетероскедастичности в эмпирических данных.

Критерий Голдфелда – Квандта. Предположим, что дисперсия отклонений является функцией го значения факторного признака, которая описывается функцией , ; возмущающая переменная имеет нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков . Критерий Голдфелда – Квандта состоит в следующем:

1. Все набдюдений упорядываются по величине значений фактора .

2. Упорядоченная выборка разбивается на три подвыборки объема .

3. Строятся уравнения регрессии для первой и третьей подвыборок. Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям верно, то дисперсия регрессий по первой подвыборке , , будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборке, .

4. Для сравнения дисперсий составляется отношение: , которае подчиняется - распределению с числом степеней свободы , - количество факторных признаков в уравнении регрессии.

5. Если , то гипотеза об отсутствии гетороскедастичности отклоняется. В противном случае, т.е. если , нет оснований для отклонения гипотезы о гомоскедастичности остатков.

Голдфелд и Квандт для парной регрессии предлагают следующие размеры подвыборок: если то ; если , то .

При множественной регрессии данный критерий применяется для факторного признака с найбольшей дисперсией или для всех факторных признаков.

Критерий Голдфелда – Квандта можно применять и при обратной пропорциональной зависимости между и значениями факторного признака.

Пример 4.1.По эмпирическим данным, описывающих величину потребления ( , ден. ед.), в зависимости от величины дохода ( , ден. ед) и инвестиций ( , ден.ед.):

построить линейную регрессионную модель и проверить случайность остатков.

Р е ш е н и е. Линейная регрессионная модель зависимости объема потребления от величины дохода и инвестиций имеет вид:

.

Коэффициенты неизвестные величины. Определим их при помощи МНК. Применив ЭВМ, находим уравнение регрессии:

.

Подставив в полученное уравнение регрессии значения и , вычисляем значения регрессии и остатки

.

Случайность остатков проверим при помощи критерия серий. Для этого образуем последовательность из плюсов и минусов по следующему правилу: если , то ставится плюс; если , то ставится минус. Для вычисленных остатков получаем следующую последовательность знаков:

.

Общее число серий и протяженность самой длинной серии . Подставив эти значения в неравенства , получим 2 < 5 , где для и 5 > . Следовательно, отклонения от уравнения регрессии носят случайный характер.

Проведем графический анализ зависимости остатков от теоретических значений результативного признака . Для этого построим на графике (рис. 4.1) значения отклонений. Поскольку точки находятся в полосе, обозначенной пунктирными линиями, то отклонения носят случайный характер и, следовательно, уравнение регрессии хорошо аппроксимирует изучаемое явление.

Рис 4.1

4.2. Методы смягчения проблемы гетероскедастичности.При установлении гетероскедастичности возникает необходимость преобразования модели с целью устранения этого недостатка. Вид преобразований зависит от того, известны или неизвестны дисперсии отклонений

А). Если для каждого наблюдения известны значения , то устранить гетероскедастичность можно, разделив каждое эмпирическое значение на соответствующее ему значение дисперсии и для преобразованных эмпирических данных можно применить метод наименьших квадратов при построении регрессии.

Рассмотрим парную линейную регрессию

. (4.2)

Разделим все члены уравнения на известное : . Обозначив , получим уравнение регрессии без свободного члена, но с дополнительным факторным признаком и с преобразованным отклонением , для которого выполняется условие гомоскедастичнсти. Действительно,

, так как согласно первой предпосылке.

Рассмотренный метод преобразований называется взвешенным методом наименьших квадратов (ВМНК), который включает следующие шаги.

1. Значения каждой пары эмпирических данных делят на известную величину . Тем самым наблюдениям с наименьшими дисперсиями придаются большие «веса», чем наблюдениям с большими дисперсиями. При этом увеличивается вероятность получения более точных оценок.

2. Для преобразованных значений строится уравнение регрессии при помощи метода наименьших квадратов.

Б). Если фактические значения дисперсий отклонений неизвестны, то формулируются различные предположения о дисперсиях:

- дисперсии пропорциональны : коэффициент пропорциональности. Тогда все члены уравнения (4.2) делим на :

. (4.3)

Можно показать, что для случайных отклонений выполняется условие гомоскедастичности, Следовательно, для построения уравнения регрессии (4.3) можно применить МНК. Оценив коэффициенты и , возвращаемся к исходному уравнению регрессии (4.2).

- дисперсии пропорциональны : коэффициент пропорциональности. Соответствующим преобразованием будет деление всех членов уравнения (4.2) на :

. (4.4)

После определения оценок параметров и применяя МНК, возвращаемся к исходному уравнению регрессии (4.2).

4.3. Автокорреляция остатков регрессионной модели. Критерий Дарбина – Уотсона.Другой важной предпосылкой МНК является предположение о попарной независимости значений случайных отклонений (остатков) и в вероятностном смысле, т.е. для .

Корреляция между упорядоченными во времени или в пространстве последовательными или смещенными на лаг значениями одного и того же ряда наблюдений называется автокорреляцией.

Автокорреляция остатков (отклонений) – это корреляция между последовательными значениями возмущающей переменной : и . Она обычно встречается в регрессионном анализе при изучении временных рядов. В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция ( ), чем отрицательная автокорреляция ( ). Положительная (отрицательная) автокорреляция вызывается постоянным направленным воздействием неучтенных в регрессионной модели факторами.

Последствия автокорреляции в определенной мере сходны с последствиями гетороскедастичности, т.е. все выводы, получаемые на основе соответствующих и статистик, определяющих значимость коэффициентов регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными. Вследствие этого ухудшаются прогнозные качества модели, поскольку оценки параметров уравнения регрессии, полученные с применением МНК, перестают быть эффективными.

Для установления статистической независимости отклонений проверяется некоррелированность не любых, а только соседних величин . Соседними значениями остатков считаются соседние во времени или по возрастанию значений факторного признака . Для анализа коррелированности этих величин коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

. (4.5)

На практике, вместо коэффициента корреляции используют другие критерии. Наиболее распространенным критерием, позволяющим установить наличие автокорреляции остатков первого порядка, т.е. между соседними остаточными членами, является критерий Дарбина – Уотсона (см. п. 2.7).

При применении этого критерия формулируется основная гипотеза , состоящая в том, что автокорреляция остатков отсутствует: и альтернативная гипотеза автокорреляция остатков существует. Для проверки выдвинутой гипотезы применяется статистика:

. (4.6)

При больших значениях коэффициент корреляции и статистика связаны равенством

, (4.7)

так как при больших значениях две суммы равны: . Из равенства (4.7) следует, что если , то и . Если , то и . Во всех других случаях .

При случайном поведении отклонений (остатков) можно предположить, что в одной половине случаев знаки последовательных отклонений совпадают, а в другой – противоположны. Так как абсолютная величина отклонений в среднем предполагается одинаковой, то можно считать, что в половине случаев , а в другой . Тогда

Таким образом, необходимым условием независимости случайных отклонений является близость к двойке значения статистики Дарбина – Уотсона. Следовательно, если , то считаем отклонения от регрессии случайными (хотя в действительности они таковыми могут и не быть), а построенная эмпирическая линейная регрессия, вероятно, отражает реальную зависимость.

Для ответа на вопрос, какие значения статистики можно считать статистически близкими к двум, разработаны таблицы значений статистики Дарбина – Уотсона, позволяющие при данном числе наблюдений , количестве факторных признаков и заданном уровне значимости , определить границы области значений статистики , при которых принимается или отклоняется гипотеза о наличии автокорреляции. Для заданных в таблице указываются два числа: - нижняя граница и - верхняя граница. Выводы осуществляются по правилу:

, существует положительная автокорреляция остатков;

, существует отрицательная автокорреляция остатков;

, вопрос о принятии или отвержении гипотезы о наличии автокорреляции остается открытым;

, автокорреляция отсутствует.

При грубой оценке считают, что если , то автокорреляция остатков отсутствует. Для более надежного вывода следует использовать таблицу. Отметим, что при наличии автокорреляции остатков построенное уравнение регрессии считается неудовлетворительным.

Применение статистики Дарбина – Уотсона основано на следующих предположениях:

1. Регрессионные модели должны содержать свободный член.

2. Случайные отклонения определяются по итерационной схеме , называемой авторегрессионной схемой первого порядка.

3. Эмпирические данные должны иметь одинаковую периодичность.

4. Критерий не применяется для авторегрессионных моделей.

При подтверждении автокорреляции остатков в первую очередь необходимо проанализировать спецификацию модели, т. е. уточнить состав факторных признаков, оказывающих влияние на результативный признак. Если после этого автокорреляция имеет место, то применяются различные преобразования модели, устраняющие автокорреляцию.

Для устранения автокорреляции можно воспользоваться авторегрессионной схемой первого порядка AR(1), применение которой рассмотрим на парной линейной регрессии

. (4.8)

Тогда наблюдения и удовлетворяют таким же уравнениям:

, (4.9)

. (4.10)

Предположим, что случайные отклонения описываются авторегрессионной моделью первого порядка:

(4.11)

где , , - случайные отклонения, удовлетворяющие всем предпосылкам МНК, - коэффициент автокорреляции. Умножим соотношение (4.10) на и вычтем из (4.9):

. (4.12)

Введем обозначения и учитывая (4.11), получим уравнение регрессии в виде:

,

коэффициенты которого можно вычислить, применяя МНК. Коэффициенты будут наилучшими оценками параметров уравнения регрессии изучаемой зависимости, так как случайные отклонения удовлетворяют предпосылкам МНК. При этом способе устранения автокорреляции происходит потеря первого наблюдения, что может привести к потере эффективности при малом числе наблюдений. Эта проблема обычно преодолевается с помощью поправки Прайса - Винстена:

.

Если значение коэффициента автокорреляции неизвестно, то в качестве его оценки можно взять коэффициент корреляции , вычисленный по формуле , статистика Дарбина – Уотсона. Существуют и другие методы оценивания : методы Кохрана – Оркатта, Хилдретта – Лу.

В случае, когда автокорреляция остатков велика, то применяется метод первых разностей. При этом методе уравнение регрессии (4.12), в котором полагаем , преобразуется к виду:

,

где и коэффициент оценивается по МНК.

4.4. Мультиколлинеарность экзогенных переменных. Методы устранения мультиколлинеарности.Мультиколлинеарностью называется линейная зависимость между двумя или несколькими факторными признаками множественной линейной регрессии. Если факторные признаки связаны строгой линейной функциональной зависимостью, то мультиколлинеарность называется совершенной, а при существовании тесной корреляционной зависимости между факторными признаками – несовершенной. При существовании мультиколлинеарности могут возникнуть следующие последствия:

1. Большие стандартные ошибки оценок параметров уравнения регрессии, что приводит к увеличению интервальных оценок, ухудшению их точности.

2. Уменьшаются статистики коэффициентов, что может привести к неоправданному выводу о значимости влияния соответствующего фактора на результативный признак.

3. Становятся неустойчивыми оценки параметров уравнения регрессии при малейшем изменении данных.

4. Затрудняется определение вклада каждого из факторных признаков в объясняемую уравнением регрессии дисперсию результативного признака.

5. Возможно получение неверного знака у коэффициента регрессии.

Существует несколько признаков, по которым может быть установлена мультиколлинеорность.

1. Коэффициент детерминации близок к единице, но некоторые из коэффициентов регрессии статистически незначимы, т. е. они имеют низкие статистики.

2.Между малозначимыми факторными признаками существует тесная корреляционная зависимость.

3.Тесная частная корреляционная зависимость между факторными признаками.

Мультиколлинеарность может иметь место, если какой – либо факторный признак связан тесной корреляционной зависимостью с другими факторными признаками. Для выявления этой зависимости строятся уравнения регрессии каждого факторного признака , на оставшиеся факторные признаки. Вычисляются соответствующие коэффициенты детерминации и оценивается их статистическая значимость на основе статистики: , где число наблюдений, число факторных признаков в первоначальном уравнении регрессии. Статистика подчиняется распределению Фишера с числом степеней свободы и . Если коэффициент статистически значим, то есть основания считать, что между и другими факторными признаками существует корреляционная зависимость, следовательно, имеет место мультиколлинеарность. В противном случае, мультиколлинеарность отсутствует.

Прежде чем устранять мультиколлинеарность, определяется цель исследования. Если модель строится для прогнозирования, то при мультиколлинеарность не сказывается на прогнозных качествах модели. В других случаях, применяются методы для исключения мультиколлинеорности.

Простейшим методом устранения мультиколлинеарности является исключение из модели одной или ряда коррелированных переменных.

Для уменьшения мультиколлинеарности увеличивается объем выборки, что приводит к увеличению статистической значимости коэффициентов регрессии.

Изменяется форма модели, или добавляются факторные признаки, не учтенные в модели, но существенно влияющие на результативный признак (зависимую переменную). Это приводит к уменьшению стандартных ошибок коэффициентов регрессии.

Выполняются преобразования уравнения регрессии, путем деления на один из факторных признаков и др.