Булевы функции двух переменных.

Пусть х1 и х2 — логические переменные. Рассмотрим функцию от х, и х2:

f(х12). (11.8)

Так как каждая из переменных х1, х2 может принимать только два значения: 0 и 1,

то областью определения функции (11.8) являются четыре варианта сочетаний: 00, 01, 10 и 11. Приняв эти сочетания за координаты точек на плоскости х1Ох2, получим четыре вершины единичного квадрата (рис. 11.10). Таким образом, функцию (11.8) можем считать заданной на множестве вершин единичного квадрата, и это множе­ство она отображает во множество {0, 1}. Например, функция f(х1, х2) может быть равна единице во всех вершинах, кроме начала координат, а в начале координат обращаться в нуль.

Легко найти общее число всевозможных функций f(хь х2) со значениями в 0, 1}. В самом деле, перенумеруем вершины единичного квадрата в каком-нибудь порядке. В каждой вершине функция f(х1,, х2) может принимать одно из двух значений: 0 или 1. Задать функцию — значит указать, в каких вершинах она принимает значение 0 и в каких 1. Таким образом, наша функция — это четырехбуквенное слово, образованное из алфавита {0, 1}. Число таких слов равно 24= 16. Следовательно, можно построить только 16 различных функций двух логических переменных со значениями в {0, 1}. Перечислим эти функции.

Таблица 11.11   Таблица 11.12
х1 х2 f(х12)=0   х1 х2 f(х12)=1
 
 
 
 
                   

 

Таблица 11.13   Таблица 11.14
х1 х2 f(х12)= х1   х1 х2 f(х12)= х2
 
 
 
 
                   

 

Таблица 11.15   Таблица 11.16
х1 х2 f(х12)=   х1 х2 f(х12)=
 
 
 
 
                 

 

Таблица 11.17   Таблица 11.18
х1 х2 х1 Ùх2   х1 х2 х1Úх2
 
 
 
 
                   

Прежде всего отметим две простейшие функции — постоянные: f(х12)=0 и f(х12)= 1 (табл. 11.11 и 11.12).

Еще две тоже очень простые функции f(х12)= х1 и f(х12)= х2 (табл. 11.13 и 11.14). Аналогично строятся функции f(х12)= , и f(х12)= (табл. 11.15 и 11.16).

Все эти функции уже встречались при рассмотрении функции одной логической переменной. Перейдем теперь к более интересным функциям двух логических переменных.

Конъюнкция.Так называется функция f(х12), которая принимает значение, равное единице, тогда и только тогда, когда оба аргумента равны 1 (табл. 11.17). Конъюнкция обозначается х1Ùх2 или х1 2, читается «х1 и х2» (Иногда конъюнкцию обозначают знаком &. До сих пор не установилось единое обозначение и для других функций. Так, например, для отрицания существуют еще два знака). Легко видеть, что конъюнкцию можно определить также равенством х1Ùх2 = min(х1|, х2). Таким образом, чтобы конъюнкция была равна нулю, необходимо (и достаточно), чтобы хоть один аргумент был равен нулю.

Дизъюнкция. Так называется функция f(х12), которая принимает значение 0 тогда и только тогда, когда оба аргумента равны 0 (табл. 11.18). Дизъюнкция обозначается х1Úх2, и читается «х1 или х2». Легко видеть, что дизъюнкцию можно определить равенством х1Úх2, = mах(х1, х2). Таким образом, чтобы дизъюнкция была равна единице, достаточно (и необходимо), чтобы хоть один из аргументов был равен единице.

 

Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной лекции

1. Что называют отрицаниемвысказывания р?

2. Что называют конъюнкциейдвух высказываний р и q?

3. Что называют дизъюнкциейдвух высказываний р и q?

4. Что называют импликацией двух высказываний р и q?

5. Что называют эквиваленциейдвух высказываний р и q?








Дата добавления: 2015-08-20; просмотров: 1113;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.