Основные операции с нечеткими множествами.

Нечеткая логика создавалась Л. Заде [11] как расширение классической формальной логики с целью реализации моделирования явлений реального мира, которые не всегда укладываются в рамки классической логики. В основе такого расширения лежит аксиома, по которой операции формальной логики должны являться частным случаем операций нечеткой логики. На этом принципе происходит построение теоретико-множественных операций и отношений.

Дополнение нечеткого множества А определяется в соответствии с определением (9.1), где функция принадлежности = 1 - . Таким образом, закон двойного отрицания для данных нечетких логик выполняется.

Пересечение нечетких множеств А и В определяется как нечеткое множество вида:

А В = {( ): }, (9.7)

где результат операции зависит от способа задания степени принадлежности

. Наиболее распространены следующие способы [10]:

= min ( ; ), , (Л. Заде, 1965); (9.8)

= , , (B.M. Pfeiffer 1996). (9.9)

Пример. Дана предметная область Х={х ; х ;х ;х ;х ;х }, на котором определены нечеткие множества А={1/ х :0,8/ х ;0,6/ х ;0,4/ х ;0,2/ х ;0/ х }

и В={0/ х :0,2/ х ;0,4/ х ;0,6/ х ;0,8/ х ;1/ х }, где принята запись a/x ~ (a;x).

Определим А В, используя (9.8),(9.9).

Согласно (9.7),(9.8) имеем:

А В={0/ х :0,2/ х ;0,4/ х ;0,4 / х ;0,2/ х ;0/ х }.

Согласно (9.7),(9.9) имеем:

А В={0/ х :0,16/ х ;0,24/ х ;0,24 / х ;0,16/ х ;0/ х }.

Как видим, результат вычисления А В оказывается различным в зависимости от принятого способа определения , опирающегося на субъективные соображения. В частности, способ (9.8) рекомендуют использовать для систем, в которых метод обработки информации близок к логическому, когда большинство зависимостей между входными и выходными параметрами системы носят детерминированный характер, т.е. значения функций принадлежностей параметров системы достаточно близки к 1. Преимуществом способа (9.9) является то, что значение зависит от значений обеих функций принадлежности и . Поэтому потери информации здесь не так существенны, как в способе (9.8).

Из условия рассмотренного примера, согласно определения дополнения, видно, что В= . Но, как следует из разобранного примера, в обоих случаях А В= А . Это означает, в нечеткой логике закон противоречия выполняется не всегда. В то же время, как легко убедиться, идемпотентность, коммутативность и ассоциативность пересечения нечетких множеств выполняются.

Объединение нечетких множеств А и В определяется как нечеткое множество вида:

А В = {( ): }, (9.10)

где результат операции зависит от способа задания степени принадлежности

. Наиболее распространены следующие способы [10;11]:

= mах ( ; ), ; (9.11)

= + - , . (9.12)

Пример. Определим А В, используя (9.11),(9.12) и данные предыдущего примера.

Согласно (9.10),(9.11) имеем:

А В={1/ х :0,8/ х ;0,6/ х ;0,6 / х ;0,8/ х ;1/ х }.

Согласно (9.10),(9.12) имеем:

А В={1/ х :0,84/ х ;0,76/ х ;0,76 / х ;0,84/ х ;1/ х }.

Наличие различных результатов при вычислении А В и рекомендации по практическому применению способов (9.11), (9.12) объясняются теми же соображениями, что и при вычислении А В. Отметим, что для данной предметной области Х универсальное множество имеет вид:

U = {1/ х :1/ х ;1/ х ;1/ х ;1/ х ;1/ х }

и, таким образом, данные рассматриваемого примера показывают, что А В= А U, т.е. в нечеткой логике закон исключенного третьего, вообще говоря, выполняется не всегда. В то же время легко убедиться, что идемпотентность, коммутативность и ассоциативность объединения нечетких множеств имеют место.