Линеаризация вход-выход

Рассмотрим задачу слежения применительно к объекту управления, описываемому уравнениями

(14)

Цель управления: добиться, чтобы выход объекта y(t) отслеживал желаемое задающее воздействие y_ж(t), в то время как все переменные состояния оставались ограниченными по величине.

Рассмотрим объект третьего порядка, описываемый уравнениями

(15)

Для того, чтобы получить соотношение, непосредственно связывающее выход y(t) и управление u(t), сначала найдем производную от выхода

.

Как видим, производная явно не связана с управлением u(t). Поэтому еще раз осуществим дифференцирование. Тогда получаем

(16)

где

(17)

Ясно, что (16) дает явную зависимость между y(t) и u(t). Если мы выберем управление в виде

(18)

где определяется как новое управление, то нелинейности в (16) сокращаются, и мы получаем линейное динамическое уравнение

описывающее двойной интегратор. Проектирование следящего регулятора для такого двойного интегратора не представляет трудностей, если использовать методы линейной теории управления. Например, пусть e(t)=y_ж(t)- y(t) и мы выбрали новое управление как

(19)

где и положительные постоянные. При этом ошибка слежения замкнутой системы управления будет описываться уравнением

(20)

которому соответствует применительно к e асимптотически устойчивая динамика, так что ошибка слежения с течением времени затухает до нуля.

Если желаемое задающее воздействие y_ж(t)представлено постоянным сигналом v(t)= v₀ =const, то закон управления приводит к следующему уравнению замкнутой системы относительно выхода которое обеспечивает при положительных постоянных коэффициентов и нулевую установившуюся ошибку воспроизведения постоянного задающего воздействия.

Метод линеаризации с обратной связью требует точной модели ОУ с точными производными управляемой величины y=x, что может повлечь за собой проблему робастности. К этому случаю имеется подход к решению задачи робастности, который заключается во введении в закон управления с обратной связью по состоянию интеграла от ошибки

..

Отсюда получаем

или после дифференцирования

.

Характеристическое уравнение этой системы определяется выражением

Выбирая коэффициенты данного уравнения так, чтобы все его корни были левыми, мы можем добиться стабилизации системы на уровне =const и в то же время робастности к постоянному возмущению на входе нелинейного ОУ и к неопределенности параметров модели.

Заметим, что:

- Закон управления (18) определен всюду, кроме особой точки =-1.

- Для реализации закона управления требуется измерение всех переменных состояния.

- Данный выше регулятор не гарантирует устойчивости внутренней динамики замкнутой системы, т.е. не гарантирует, что замкнутая система внутренне устойчивая.