Синтез нелинейной следящей системы методом линеаризации обратной связью

Сущность метода: линеаризация обратной связью (feedback linearization) нелинейного ОУ полностью или частично так, чтобы можно было использовать линейную теорию управления.

- Такой метод является одним из методов проектирования нелинейных систем управления.

- Основная идея этого метода: алгебраическим способом преобразовать модель динамического нелинейного ОУ коренным образом отличается от классической линеаризации (так называемой тейлоровской или якобианской линеаризации) тем, что используется обратная связь по состоянию, а не линейная аппроксимация динамики нелинейного объекта.

- Технологию линеаризации можно трактовать как метод преобразования исходной нелинейной модели ОУ в эквивалентную линейную модель более простого вида.

Идея линеаризации обратной связью сократить (аннулировать) нелинейности модели ОУ и придать системе управления желаемые линейные динамические свойства.

Линеаризация обратной связью применима к классу нелинейных диамических ОУ, допускающих описание с помощью канонической формы управляемости.

Рассмотрим ОУ, описываемый уравнением движения в канонической (аффинной) форме

y(t) =x(t),

которое можно представить в переменных состояния как

, (1)

где = вектор состояния,

f и b нелинейные функции времени, u и y скалярные вход и выход ОУ соответственно.

Цель управления: принудить вектор состояния отслеживать конкретную желаемую траекторию , другими словами, заставить y(t)следить за изменениями желаемого сигнала . Если мы определим векторную ошибку слежения как , то целью управления можно считать проектирование закона управления, который обеспечивает при . Для этого объекта, используя управляющее воздействие в виде

, (2)

другими словами, используя линеаризацию обратной связью, можно сократить нелинейности и найти уравнение вход-выход в форме n-кратного интегратора

. (3)

Тогда принимая в качестве , которое называют «эквивалентным управлением (входом)»

, (4)

где коэффициенты вектора выбираются так, чтобы характеристическое уравнение имело все корни, расположенные в ЛПП, , закон управления (2) приводит к асимптотически устойчивой замкнутой системе, описываемой уравнением для ошибки :

, (5)

из которого следует, что

при .

Если = 0 (рассматривается задача регулирования), то эквивалентное управление принимает вид

и тогда закон управления (2) преобразует (1) в уравнение

,

которое обеспечивает удовлетворительное поведение замкнутой системы, описываемой уравнением (1), по меньшей мере, обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой системы.

Замечание. Если динамика нелинейного объекта представлена не в канонической форме управляемости, надо, используя алгебраические преобразования, вначале привести модель ОУ к канонической форме управляемости, а затем использоваь вышерассмотренную методику проектирования обратной связи по состоянию.