Лекция 7. Итак, требуется выбрать вектор-строку , при котором полюсы проектируемой системы совпадали бы с полюсами желаемой системы

Итак, требуется выбрать вектор-строку , при котором полюсы проектируемой системы совпадали бы с полюсами желаемой системы, то есть чтобы

, .

Так как полюсы полностью определяют значения коэффициентов характеристического многочлена проектируемой системы , а полюсы - значения коэффициентов характеристического многочлена желаемой системы , то задачу проектирования можно трактовать как выбор такого вектора , при котором равны коэффициенты и характеристических многочленов и , следовательно, равны и сами многочлены.

Если порядок системы n невысокий, то для решения поставленной задачи можно воспользоваться следующей методикой. С помощью известных матриц объекта A и B по формуле (7) находим матрицу A₃, (при этом элементы вектора обратной связи записываем в символической форме) и затем определяем характеристический многочлен проектируемой системы . При этом коэффициенты этого многочлена оказываются функциями элементов вектора обратной связи , то есть

, .

Приравнивая коэффициенты характеристических многочленов проектируемой и желаемой системы, получаем систему из n уравнений с n неизвестными

, . (9)

решая которую находим искомые значения , , обеспечивающие желаемое расположение полюсов проектируемой системы.

Пример. Пусть ОУ (двойной интегратор) описывается уравнением:

, n=2, .

В символическом виде вектор может быть записан как , при этом с учетом (7) характеристический многочлен (8) проектируемой системы имеет вид:

.

Пусть желаемый характеристический многочлен

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p у и , получаем систему уравнений относительно и

решая которую, находим

. (10)

В соответствии с (5)

. (11)

Используя уравнения состояния двойного интегратора

,

и уравнение (11), построим операционную структурную схему спроектированной системы (см. рисунок ниже).

Перенося точку съема «a» на выход второго слева интегратора, получаем динамическую структурную схему эквивалентной системы с обратной связью по выходу (см. рисунок ниже).