Определение параметров гидродинамических моделей по экспериментальным данным путем решения обратной задачи методами нелинейного программирования.

Для того, чтобы решить задачу определения параметров модели по экспериментальным данным применим метод поиска минимального рассогласования между результатами моделирования поведения объекта с заданными значениями параметров модели и результатами наблюдения за объектом при нанесении на его вход выбранного входного сигнала. Функцию рассогласования запишем в виде суммы квадратов отклонений. Решению поставленной задачи будет соответствовать нахождение минимума суммы квадратов отклонений по искомым параметрам модели.

Математическая формулировка поставленной задачи имеет следующий вид:

(3.6.42)

где:

NEXP -число экспериментов

NT^k -число точек по времени для k-го эксперимента

-вектор параметров модели М_р ={P;P_i Î[P_i^н,P_i^в]};

p^н -вектор нижних ограничений переменных

Р^в -вектор верхних ограничений переменных

y^k(t_i) - экспериментальный выходной сигнал для k-го эксперимента в i-й точке.

Функция рассогласования при каждом значении вектора параметров модели формируется путем численного обращения выходных характеристик модели с учетом передаточной функции и реального входного сигнала. Таким образом получается набор расчетных значений у^k(t_ik) в каждой i-й точке измерения k-го эксперимента. После формирования функции рассогласования, соответствующей заданному вектору параметров модели , производится поиск параметров модели, минимизирующих функцию рассогласования s( ). Для поиска минимума функции рассогласования используются различные методы нелинейного программирования, например, градиентный метод, алгоритм которого приведен ниже:

(3.6.43)

где:

p_j – j-й компонент вектора параметров модели

i – номер шага поиска.

Таким образом, можно находить параметры сложных моделей потоков, в том числе и комбинированных, при использовании входных возмущающих сигналов произвольной формы и при проведении измерений в конечное время.

На основании изложенного подхода в Российском научном центре «Прикладная химия» была создана автоматизированная программная система RTD (Residence Time Distribution), позволяющая решать задачи синтеза сложных моделей структуры потоков из элементарных блоков и решать обратную задачу нахождения параметров моделей по экспериментальным данным.

Далее показаны результаты использования системы RTD для поиска параметров диффузионной модели – критерия Ре и среднего времени пребывания по экспериментальной кривой отклика на импульсное возмущение, поданное на вход аппарата в виде прямоугольного импульса малой продолжительности.

Рис.3.6.4 Сопоставление расчетных и экспериментальных кривых при начальном приближении. 1 экспериментальная кривая,2- расчетная. Начальное приближение Pe=1, t=7

s⁽⁰⁾= 4,7×10^-2

Рис.2. Сопоставление экспериментальных и расчетных кривых после поиска.

Pe=12, t=10, s⁽⁰⁾=1,354×10^-7

Результаты статистического анализа:

Statistics Summary

===================

1. Adequacy Analysis

Sum of squares:

Residual = 1,354E-7

degree of freedom = 99

Regression = 0,1573

degree of freedom = 2

Percentage point = 0.05

Fisher (calc) = 1,162E6

Fisher (tab) = 3,088

degree of freedom = 2, 99

Student (tab) = 1,984

degree of freedom = 99

Model fits experimental data

4. Кинетические модели для описания химических превращений.