ЛЕКЦІЯ №2

2.1. Принцип оптимальності в плануванні й керуванні, загальна задача оптимального програмування

Лінійне програмування— це приватний розділ оптимального програмування. У свою чергу оптимальне (математичне) програмування— розділ прикладної математики, що вивчає задачі умовної оптимізації. В економіці такі задачі виникають при практичній реалізації принципу оптимальності в плануванні й керуванні.

Необхідною умовою використання оптимального підходу до планування й керування (принципу оптимальності) є гнучкість, альтернативність виробничо-господарських ситуацій, в умовах яких доводиться приймати планово-управлінські рішення. Саме такі ситуації, як правило, і становлять повсякденну практику господарюючого суб'єкта (вибір виробничої програми, прикріплення до постачальників, маршрутизація, розкрій матеріалів, готування сумішей і т.д.).

Суть принципу оптимальності складається в прагненні вибрати таке планово-управлінське рішення , де - його компонента, що щонайкраще враховувало б внутрішні можливості й зовнішні умови виробничої діяльності господарюючого суб'єкта.

Слову «щонайкраще» тут означають вибір деякого критерію оптимальності, тобто деякого економічного показника, що дозволяє порівнювати ефективність тих або інших планово-управлінських рішень. Традиційні критерії оптимальності: «максимум прибутку», «мінімум витрат», «максимум рентабельності» і ін.

Слова «ураховувало б внутрішні можливості й зовнішні умови виробничої діяльності» означають, що на вибір планово-управлінського рішення (поводження) накладається ряд умов, тобто вибір здійснюється з деякої області можливих (припустимих) рішень ; цю область називають також областю визначення задачі.

Таким чином, реалізувати на практиці принцип оптимальності в плануванні й керуванні - це значить вирішити екстремальну задачу виду:

, (2.1)

, (2.2)

де – математичний запис критерію оптимальності – цільова функція. Задачу умовної оптимізації (2.1), (2.2) звичайно записують у вигляді:

Знайти максимум або мінімум функції

(2.3)

при обмеженнях

(2.4)

. (2.5)

Умова (2.5) необов'язково, але його завжди при необхідності можна домогтися. Позначення {<,=,>} говорить про те, що в конкретному обмеженні можливий один зі знаків: <,= або >. Більше компактний запис:

Задача (2.6)-(2.8) - загальна задача оптимального (математичного) програмування, інакше - математична модель задачі оптимального програмування, в основі побудови (розробки) якої лежать принципи оптимальності й системності.

Вектор (набір керуючих змінних ) називається припустимим рішенням, або планом задачі оптимального програмування, якщо він задовольняє системі обмежень. А той план (припустиме рішення), що доставляє максимум або мінімум цільової функції ,називається оптимальним планом (оптимальним поводженням, або просто рішенням) задачі оптимального програмування.

Таким чином, вибір оптимального управлінського поводження в конкретній виробничій ситуації пов'язаний із проведенням з позицій системності й оптимальності економіко-математичного моделювання й рішенням задачі оптимального програмування.

Задачі оптимального програмування в найбільш загальному виді класифікують по наступних ознаках.

1) По характері взаємозв'язку між змінними:

а) лінійні;

б) нелінійні.

У випадку а) всі функціональні зв'язки в системі обмежень і функція мети - лінійні функції; наявність нелінійності хоча б в одному зі згаданих елементів приводить до випадку б).

2) По характері зміни змінних:

а) безперервні;

б) дискретні.

У випадку а) значення кожної з керуючих змінних можуть заповнювати суцільно деяку область дійсних чисел; у випадку б) всі або хоча б один змінна можуть приймати тільки цілочислові значення.

3) По обліку фактору часу:

а) статичні;

б) динамічні.

У задачах а) моделювання й прийняття рішень здійснюються в припущенні про незалежність від часу елементів моделі протягом періоду часу, на який приймається планово-управлінське рішення. У випадку б) таке припущення досить аргументовано прийняте не може бути й необхідно враховувати фактор часу.

4) По наявності інформації про змінні:

а) задачі в умовах повної визначеності (детерміновані);

б) задачі в умовах неповної інформації;

в) задачі в умовах невизначеності.

У задачах б) окремі елементи є імовірнісними величинами, однак відомі або додаткові статистичні дослідження можуть бути встановлені їхні закони розподілу. У випадку в) можна зробити припущення про можливий ісходах випадкових елементів, але немає можливості зробити висновок про ймовірності ісходів.

5) По числу критеріїв оцінки альтернатив:

а) прості, однокритеріальні задачі;

б) складні, багатокритеріальні задачі.

У задачах а) економічно прийнятне використання одного критерію оптимальності або вдається спеціальними процедурами (наприклад, «зважуванням пріоритетів») звести багатокритеріальний пошук до однокритериального; приклади багатокритеріальних задач розглянуті в гл. 3.

Сполучення ознак 1-5 дозволяє групувати (класифікувати) у самому загальному виді задачі й методи оптимального програмування, наприклад: 1а),2а),3а),4а),5а) - задачі й методи лінійного програмування; 1б),2а),3а),4а),5а) - задачі й методи нелінійного програмування;1а),2б),3а),4а),5а) - задачі й методи цилочислового (дискретного) лінійного програмування й т.д.