Лекция 12. Условия на границе раздела диэлектриков. Энергия электрического поля

Введение вспомогательного вектора D позволило вынести описание поляризации диэлектрика за рамки уравнений Максвелла. Поле вектора D можно изображать с помощью силовых линий, направление и густота которых определяются также, как и для вектора Е. Однако линии вектора Е могут начинаться как на свободных, так и на связанных зарядах. Поскольку источниками вектора D являются только свободные заряды, на них начинаются и заканчиваются линии вектора D. Через области поля, содержащие связанные заряды, линии вектора D проходят, не прерываясь.

В качестве иллюстрации полезности вектора D рассмотрим пример. Пусть точечный свободный заряд q находится в центре шара радиуса R из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e. Найдем напряженность Е поля как функцию расстояния r от центра.

В этой задаче невозможно воспользоваться теоремой Гаусса для вектора Е, несмотря на то, что симметрия задачи располагает к этому, потому что не дано распределение связанного заряда. Однако поток вектора D зависит только от свободного заряда, который дан. Поэтому сначала применим теорему Гаусса для вектора D, выбрав в качестве гауссовой поверхности сферу произвольного радиуса r

4pr²D = q.

Подставляя D=ee_oE для r£R и D=e_oE для r>R, получаем

при r£R;

при r>R.

Из сопоставления последних двух формул (они отличаются множителем e в знаменателе) видно, что при r=R величина Е испытываетскачок. Графики зависимостей Е и D от r представлены на рис.39.

Условия для векторов E и D на границе раздела диэлектриков. Выясним, как связаны компоненты векторов E и D по разные стороны от границы диэлектриков 1 и 2 (рис.40). Пусть S - цилиндрическая поверхность пренебрежимо малой высоты. Поток вектора D через S равен нулю, так как внутри нее нет свободных зарядов. Поток через боковую поверхность очень мал, так как мала ее площадь. Поэтому поток через нижнее основание равен потоку через верхнее основание: , Þ

. (129)

Таким образом, нормальная составляющая D_nсохраняется.

Рассмотрим теперь прямоугольный замкнутый контур (рис.41), сторона которого l параллельна границе раздела, а высота а много меньше длины. Так как циркуляция вектора Е электростатического поля равна нулю, для изображенного на рисунке контура это значит, что , следовательно,

, (130)

т.е. при переходе через границу раздела диэлектриков сохраняется тангенциальная составляющая E_t.

Покажем, что величины составляющих E_n и D_t меняются на границе раздела. Поскольку векторы Е и D связаны соотношением (128), и D_n сохраняется, следовательно, e₂E_2n = e₁E_1n, или

. (131)

Аналогично из (128) и сохранения Е_t следует, что

. (132)

Из граничных условий в частности следует, что если диэлектрик заполняет все пространство, занимаемое полем (например, в плоском конденсаторе), то напряженность поля Е в нем будет в e раз меньше, чем в отсутствие диэлектрика.

Энергия электрического поля. Рассмотрим процесс зарядки конденсатора (рис.42). Пусть верхняя пластина заряжена положительно зарядом +q до потенциала j₁, а нижняя-- зарядом -q до j₂. Работа против сил поля при переносе заряда dq>0 с нижней пластины на верхнюю идет на увеличение энергии взаимодействия зарядов

dW = - dA = dq(j₁ -j₂) = dq U.

Выразим напряжение U через емкость С: U=q/С, тогда dW=qdq/C. Интегрируя, получаем энергию электрического поля заряженного конденсатора

. (133)

Как известно, емкость плоского конденсатора С=ee_oS/d, где S - площадь одной пластины, d - расстояние между пластинами. Подставим С в (133) и учтем, что напряженность однородного поля между пластинами равна Е=U/d

,

где V=Sd - объем пространства между пластинами. Отношение W/V характеризует энергию единицы объема и называется плотностью энергии электрического поля

(134)

Если поле неоднородно, то плотность энергии электрического поля равна производной w_E=dW/dV. Учитывая, что Е=D/ee_о, a D=e_оЕ+Р запишем

. (135)

Полученное выражение представляет собой сумму плотности электрической энергии в вакууме и плотности энергии поляризации диэлектрика. Следовательно, электрическая энергия локализована в самом поле: как там, где есть вещество, так и там, где его нет. Однако если поле стационарно, то при исчезновении порождающих его зарядов, исчезает и само поле. Независимо от породивших их зарядов могут существовать только переменные поля.