Лекция 15. Электромагнитные волны. Вектор Умова-Пойнтинга

Итак, изменяющееся магнитное поле порождает электрическое, а переменное электрическое - магнитное. Таким образом, эти переменные поля не могут существовать по отдельности: любое переменное поле (Е или В) всегда является электромагнитным. Более того, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитное поле, возбужденное в ограниченной области, будет распространяться в пространстве, т.е. существовать в форме электромагнитных волн. Выясним, как это получается.

Запишем уравнения Максвелла для однородной непроводящей среды с магнитной проницаемостью m и диэлектрической e. Это значит, что в уравнения Максвелла следует подставить r=0, j=0, В=mm₀Н, D=ee₀Е, что удобно представить в таблице 3

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Таблица 3

Уравнения Максвелла, общий случай	№	Уравнения Максвелла при r = 0, j= 0
	I
div B= 0	II	div H= 0
	III
div D =r	IV	div E =0

Далее будем иметь дело с уравнениями правой колонки. Вычислим rot от первого уравнения, используя символ Ñ

[Ñ´[Ñ´E]] = Ñ(Ñ,E) - E(Ñ,Ñ). (152)

Эта формула отражает свойство двойного векторного произведения, известное под мнемонически удобным названием “bac - cab”:

[a´[b´c]] = b(a,c) - c(a,b).

Ñ(Ñ,E)=0, так как (Ñ,E)=divЕ=0, в соответствии с IV-тым уравнением. E(Ñ,Ñ)=(Ñ,Ñ)E=div grad Е =DЕ. Таким образом,

[Ñ´[Ñ´E]] = - DЕ. (153)

Это rot от левой части первого уравнения Максвелла. Операция rot от правой части после изменения порядка дифференцирования дает

. (154)

Подставляя rot H из III уравнения Максвелла и собирая вместе правую и левую части, имеем DЕ=mm₀ ee₀ ¶²Е/¶t², или в подробной записи

. (155)

Это - волновое уравнение. Повторив описанные действия, легко получить такое же уравнение для вектора H

. (156)

Каждое из волновых уравнений (155),(156) описывает волну, распространяющуюся с фазовой скоростью v, величина которой определяется коэффициентом при второй производной по времени . Так как для вакуума e=1, m=I, то скорость электромагнитной волны в вакууме = 3×10⁸ м/с. С учетом этого

, (157)

откуда видно, что фазовая скорость распространения электромагнитной волны в среде в раз меньше, чем в вакууме. Важно, что эта скорость одинакова для Е и Н: электромагнитное поле и возникает, и распространяется как неразрывное целое своих электрической и магнитной частей.

Плоская электромагнитная волна. Рассмотрим электромагнит-ную волну, идущую вдоль оси х. Это значит, что все компоненты векторов Е и Н зависят только от х, а все производные по у и z равны нулю. Тогда

. (158)

Аналогично

. (159)

Учтем эти соотношения в правой колонке табл. 3, принимая во внимание, что уравнения I и III - векторные: каждое из них представляет собой совокупность трех скалярных. Справа от каждого уравнения дадим краткий комментарий.

Уравнения Максвелла для плоской электромагнитной волны. Таблица 4

I. 0= , Þ	Hx не зависит от времени
, Þ	изменение во времени Нy вызывает распространение Еz вдоль х
, Þ	изменение во времени Нz вызывает распространение Еy вдоль х
II. , Þ	Hx не зависит от х
III. 0 = , Þ	Еx не зависит от времени
, Þ	изменение Еy во времени порождает распространение Нz вдоль х
, Þ	изменение Еz во времени порождает распространение Нy вдоль х
IV. , Þ	Ex не зависит от х

Суммируем комментарии: Н_x и Е_x не зависят от времени и координаты х, являясь тем самым некоторыми постоянными составляющими электрического и магнитного полей. Прибавление постоянных величин к решениям волновых уравнений (155) и (156) повлияет только на значения констант в общем решении. Поскольку эти константы все равно придется получать из начальных условий, здесь допустимо положить Н_x и Е_x, равными нулю.

Остальные уравнения показывают, что изменение Н_y связано с изменением Е_z , а изменение Е_y - только с изменением Н_z; например, если в некоторый начальный момент возбудить изменение Е_y , то появится Н_z, а Н_y - нет. Выпишем только те два уравнения, которые связывают Е_y и H_y

, (160)

. (161)

Продифференцируем первое из этих уравнений по х, изменим порядок дифференцирования по х и по t, а затем подставим ¶Н_z/¶х из второго уравнения

. (162)

Аналогично получаем уравнение для Н_z

. (163)

Это - простейшие дифференциальные уравнения для волны. Как известно, эти уравнения имеют общие решения

E_y = E_m cos(wt - kx + a₁), (164)

H_z = H_m cos(wt - kx + a₂), (165)

где k=w/v - волновое число, a₁ и a₂ - начальные фазы. Подставим эти решения в уравнения (160) и (161)

kE_m sin(wt - kx + a₁) = mm_ow H_m sin(wt - kx + a₂),

kH_m sin(wt - kx + a₂) = ee_ow E_m sin(wt - kx + a₁).

Поместим начало координат в точку, соответствующую t=0

kE_m sina₁ = mm_ow H_m sina₂,

kH_m sina₂ = ee_ow E_m sina₁.

Последнее может совместно выполняться, только если a₁=a₂, откуда

kE_m=mm₀wH_m ,

ee₀wЕ_m=kH_m.

Перемножая левые и правые части последних уравнений, получаем

.

Таким образом, колебания Е и Н в электромагнитной волне происходят в одной фазе, а амплитуды Е_m и Н_m связаны соотношением

. (166)

Решения (164) и (165) можно записать окончательно в векторном виде

E º jE_v = E_mcos(wt - kx), (167)

H º kH_z = H_mcos(wt - kx). (168)

На рис.50 представлена соответствующая этим решениям электромагнитная волна в некоторый момент времени. Векторы Е, Н и v образуют правовинтовую систему и в каждой фиксированной точке пространства изменяются со временем по гармоническому закону. Изменения этих векторов в разных точках пространства происходят со сдвигом фаз, который определяется расстоянием между этими точками. Однако в любой данной точке колебания векторов Е и Н происходят синхфазно: оба вектора одновременно достигают своих максимумов, минимумов и нулевых значений.