Эргодические случайные процессы

 

Случайный процесс может быть описан не только путем усреднения значений процесса в отдельные моменты времени (т.е. усреднением по ансамблю), возможно также его описание путем усреднения по времени наблюдения одной выборочной функции (рисунок 1.8).

 

– выборочная функция, – временной сдвиг между точками СП,

– время наблюдения выборочной функции

Рисунок 1.8 – Выборочная функция СП

 

Среднее значение и ковариационная функция случайного процесса в этом случае принимают вид:

, (1.13)

, (1.14)

где – выборочная функция;

– номер выборочной функции;

– время наблюдения выборочной функции.

Такой способ усреднения носит названия усреднения по времени наблюдения.

Если среднее значение и ковариационная функция процесса, рассчитанные по соотношениям (1.13), (1.14), одинаковы для различных выборочных функций (различных номеров реализаций ), а случайный процесс является стационарным, то он относится к эргодическим случайным процессам.

Для таких процессов справедливы следующие соотношения:

1. ;

2. .

Усредненные характеристики эргодических случайных процессов, рассчитанные усреднением по ансамблю выборочных функций и усреднением по времени наблюдения одной выборочной функции, равны между собой.

Введенные выше усредненные характеристики СП могут быть записаны в операторной форме:

,

,

где – оператор усреднения.

 

1.2.3 Погрешности выборочных оценок

 

Рассмотрим еще раз формулы расчета среднего значения случайного процесса путем усреднения по ансамблю выборочных функций

и усреднения по времени наблюдения одной реализации

.

Обе формулы содержат операцию перехода к пределу, которая на практике, конечно, неосуществима, поскольку невозможно обработать бесконечное число реализаций ( ) или одну реализацию бесконечной длины ( ). Поэтому анализ случайных процессов дает только выборочные оценки истинных значений их параметров. Необходимо уметь оценивать величину возникающей при этом ошибки.

При обработке случайных процессов ошибки подразделяют на случайные и систематические.

Случайные ошибки являются следствием разброса значений, полученных по разным выборочным функциям одного случайного процесса. Эти ошибки являются прямым следствием конечности числа реализаций или времени наблюдения . По этой причине случайные ошибки неизбежны.

Величина случайной ошибки обратно пропорциональна корню квадратному из числа реализаций или времени наблюдения:

~ или ~ . (1.15)

Анализ соотношения (1.15) показывает, что для уменьшения случайной ошибки измерений, например, в два раза необходимо увеличить время обработки реализации или количество выборочных функций в четыре раза.

Абсолютное значение и знак систематических ошибок не изменяется при переходе от одной выборочной функции к другой. Такие ошибки называют также смещением. Смещение часто появляется при приближенном вычислении производных, например при оценивании плотностей вероятности.

 








Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 810;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.