Доказательство: Необходимо определить новый базис так, что при . Будем искать в виде

(6)

Коэффициенты можно было бы найти из условия при . Однако это привело бы к решению уравнений второго порядка на . Поступим иначе.

Если , для , то , для . Действительно, подставляя вместо выражение , получаем если , и , то в силу симметрии билинейных форм . Т. о., задача свелась к следующей: определить так, что удовлетворяли условиям

, для .

(7)

Этими условиями определяются с точностью до постоянного множителя. Зафиксируем этот множитель условием

.

(8)

Сейчас увидим, что требования (7), (8) определяют вектор однозначно. Действительно, подставляя в (7), (8) выражение для , имеем:

.

(9)

По условию (5) определитель этой системы линейных уравнений отличен от нуля по теореме Крамера решение $!.

Теперь найдем коэффициенты квадратичной формы в базисе . Так как , то по построению при .

Вычислим |в силу (7), (8)|= . По правилу Крамера, из (9) , что и требовалось доказать. ■

Замечание. Приведенный выбор базиса не единственный.

Пример. Привести к диагональному виду форму , данную в базисе

Здесь

, и , т.е. не обращаются в нуль миноры из условия теоремы. Пусть

В силу теоремы о поляризации соответствующая билинейная форма имеет вид

из . Для и имеем уравнения и .

Наконец, для , и имеем систему уравнений:

т.е. , , , , , т.е. .

В этом базисе квадратичная форма имеет вид .

4°. Закон инерции квадратичных форм.

Как было показано ранее, число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от вида преобразования, с помощью которого приводится к каноническому виду. В действительности, не меняется число положительных и отрицательных коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм. А именно справедливо утверждение.

Теорема 4(закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Доказательство. Пусть форма с помощью некоторого преобразования координат приводится к виду

,

а с помощью другого преобразования того же вида – к

.

Для доказательства теоремы надо показать, что .

От противного. Предположим, что . Покажем, что в этом случае существует ненулевой вектор : в новых координатах и , координаты и равны нулю, т.е.

Каждое из этих уравнений имеет вид:

,

.

с известными . Так как уравнений меньше, чем эти уравнения имеют ненулевое решение в силу равенства в новых переменных , т.е. – нулевой вектор, что противоречит тому, что – ненулевой предположение – неверно . В силу симметричности законов приведения – неверно . Что и требовалось доказать. ■

5°. Классификация квадратичных форм.

Определение 5. Индексом инерции квадратичной формы называется число отличных от нуля коэффициентов канонического вида (т.е. ранг формы), положительным (отрицательным) индексом – число положительных (отрицательных) коэффициентов.

Очевидно, что сумма положительных и отрицательных индексов инерции равна индексу инерции.

Обозначим – индекс инерции, положительный и отрицательный индексы соответственно, . Тогда квадратичная форма может быть приведена к виду в некотором базисе .

Утверждение 3: Для того, чтобы квадратичная форма , заданная в –мерном пространстве , была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы, либо , либо . Если , то форма положительно определена, если – отрицательно определена.

Доказательство: приведем для положительно определенной.

– положительно определена приводится к виду , если , то $ , .

Пусть и для – положительно определена.

Утверждение 4: Форма – знакопеременная и положительный и отрицательный индексы отличны от нуля.

Доказательство: квадратичная форма принимает и положительные и отрицательные значения в каноническом виде должны быть как положительные, так и отрицательные выражения

.

(10)

Если справедливо (10), то для , , а для , (10) – канонический вид знакопеременной формы.

Утверждение 5: Для того, чтобы была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения либо , , либо , .

Доказательство: Аналогично п. 4

6°. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

(позволяет исследовать без приведения к каноническому виду)

Пусть – квадратичная форма и – угловые миноры.

Теорема 5 (критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства .

Для того чтобы, форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем D₁<0

Доказательство: Докажем в начале, что из условия знакоопределенности следует, что

Ä пусть . Рассмотрим систему ЛОУ

, то определитель система имеет нетривиальное решение. Пусть – такое решение. Умножая первое уравнение на –е на и складывая, получим : =0, т.е. получили, что квадратичная форма на ненулевом векторе обращается в нуль. Это противоречит знакоопределенности , . Поэтому можно применить теорему Якоби (теорема 3) и воспользоваться формулой для коэффициентов . Если – положительно определена, то все , так как , .

Если – отрицательно определенная форма, то , т.е. знаки угловых миноров чередуются.

Пусть выполнены условия, что , можно воспользоваться методом Якоби форма положительно определена.

Если знаки чередуются и , то форма отрицательно определена. Что и требовалось доказать. ■

Замечание:Отрицательный индекс инерции равен числу перемен знаков в последовательности определителей .