Квадратичные формы

1°. Определение. Теорема о поляризации.

Определение 1. Пусть – симметрическая билинейная форма. Функция , которая получается из , если положить , называется квадратичной формой.

называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме . Из симметричности Þ

Теорема 1. Полярная форма однозначно определяется своей квадратичной формой .

Доказательство. Из определения билинейной формы следует

Справа стоят квадратичные формы Þ билинейная форма определяется своей квадратичной формой. ■

Матрица симметричной билинейной формы называется матрицей, соответствующей квадратичной форме . Так как

в данном фиксированном базисе, где , то всякая квадратичная форма при заданном базисе выражается формулой:

, (1)

или в матричном виде,

. (1¢)

Правая часть (1) – однородный многочлен второй степени относительно .Он содержит подобные члены в силу Þ после приведения подобных, имеем

Еще два важных определения.

Определение 2. Квадратичная форма называется

1) положительно (отрицательно) определенной, если

(такие формы называются знакоопределенными);

2) знакопеременной, если

3) квазизнакоопределенной, если или , но .

Далее будут указаны признаки, по которым форму можно отнести к каждому из классов.

Пример: – положительно определенная.

Определение 3. Ранг матрицы квадратичной формы называется рангом квадратичной формы.

Если , то форма называется невырожденной, если – то вырожденной.

Далее нам понадобятся следующие две леммы о рангах матрицы.

Пусть и .

Лемма 1. Ранг произведения матриц не больше ранга любого из сомножителей, т.е.

, (2)

. (3)

Доказательство. Докажем равенство (3). В начале тривиальные случаи:

1) если , то – нулевая – нулевая , т.е. (3) доказано.

2) если (число столбцов), то также очевидно, так как – число столбцов в .

Далее пусть и . Тогда имеет базисных столбцов и хотя бы один столбец не принадлежащий этой системе. Пусть базисных столбцов – это первые столбцы. Тогда –ый столбец, , выражается через них по теореме о базисном миноре:

, т.е. .

По определению произведения матриц имеем: . Тогда , т.е. в матрице столбец с номером , также выражается через ее первые столбцов:

Значит, ранг столбцов матрицы не больше , т.е. , т.е. (3) доказано.

Для доказательства (2) перейдем к транспонированным матрицам: . ■

Замечание: Из Леммы 1 не следует, что первые столбцов матрицы линейно независимы.

Лемма 2. Пусть и – невырожденные. Тогда не изменяется при умножении на и на , т.е.

Доказательство. Пусть (по Лемме 1). Но ч.т.д. ■

2°. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Очевидно, что выражение (1) квадратичной формы через координаты вектора зависит от выбора базиса в линейном пространстве. Оказывается, выбирая базис определенным образом, можно привести квадратичную форму к некоторому простейшему виду, а именно, справедлива

Теорема 1. Для каждой квадратичной формы базис, в котором

, (4)

т.е. матрица квадратичной формы является диагональной.

Доказательство. По индукции по числу переменных.

1) При в произвольном базисе квадратичная форма имеет диагональный вид.

2) Пусть утверждение справедливо для квадратичной формы от переменной и докажем для переменных. Пусть в произвольном базисе

Если все , то матрица диагональная. Далее будем рассматривать случай, когда хотя бы одно .

Рассмотрим два случая.

1) Все . Тогда перенумерованием переменных можно добиться, что , т.е. имеется слагаемое . Заменим координаты по формуле:

Этой замене соответствует матрица , причём с определитель не равен 0. Т.е. это матрица – матрица перехода к новому базису.

При этой замене член перейдет в и, так как по предположению, , то он ни с чем не может сократиться, и значит коэффициент при не равен 0.

Таким образом, при необходимости делая перенумерование, всегда можем рассматривать случай:

2) . Тогда в квадратичной форме выделим все члены, содержащие :

Дополним эту сумму до полного квадрата:

где через обозначены члены, содержащие лишь квадраты и попарные произведения членов . Подстановка этого выражения в (1) дает

где – квадратичная форма от переменной .

Согласно предположению индукции, замена переменных

согласно которой приводится к виду

Положим , и получим для диагональный вид. Последняя замена имеет матрицу и .

Обратная к ней матрица является матрицей перехода к искомому базису. ▄

Замечание 1: Способ приведения квадратичной формы к диагональному виду, данный в доказательстве, называется методом выделения квадратов.

Пример:

Определение 4. Диагональный вид квадратичной формы в вещественном пространстве называется каноническим, если коэффициенты .

В комплексном пространстве вид канонический, если .

Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим. Он, обычно, определен неоднозначно.

Следствие (к Теореме 1). Для каждой квадратичной формы базис, в котором она имеет канонический вид.

Доказательство. Вначале приведем квадратичную форму к диагональному виду, а затем, если , то остаётся без изменения, если , то замена .

Очевидно, что после этого получается канонический вид и эта замена невырожденная. ■

Замечание 2 (о ранге квадратичной формы). После приведения квадратичной формы к диагональному виду переменные перенумеровывают так, что первые переменных имеют ненулевые (первые слагаемых имеют коэффициент 1, остальные (–1)) и далее 0:

Ясно, что . Очевидно, что в силу Леммы 1и 2, при переходе к новому базису ранг не меняется и значит, т.к. он для канонического вида равен , то и в другом базисе равен . Более того, при любом приведении к каноническому виду число отличных от нуля канонических коэффициентов одно и то же и равно рангу квадратичной формы.