Числовые характеристики системы двух случайных величин

Начальным моментом порядка s,h системы двух случайных величин X, Y называется математическое ожидание произведения степени s случайной величины Х и степени h случайной величины Y:

(6.6)

Центральным моментом порядка s, h систем двух случайных величин (X, Y) называется математическое ожидание произведения степеней s, h соответствующих центрированных случайных величин

(6.7)

где = X – M (X), = Y - M (Y)-центрированные случайные величины X и Y.

Основным моментом порядка s, h систем двух случайных величин (X,Y) называется нормированный центральный момент порядка s, . (6.8)

Начальные моменты a_1,0, a_0,1:

a_1,0 = M ( )= M (X); a_0,1 = M ( ) = M (Y). (6.10)

Вторые центральные моменты:

Характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси 0X.

(6.11)

Характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси 0Y.

Особую роль в качестве характеристики совместной вариации случайных величин X и Y играет второй смешанный центральный момент, который называется корреляционным моментом (ковариацией):

μ_1,1=M( )=К(X,Y)=cov(X, Y)=M(XY) - M(X)M(Y). (6.12)

Корреляционный момент является мерой связи случайных величин.

Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание ХУ равно произведению их математических ожиданий:

M (XY)= M (X) M (Y), отсюда cov (X,Y)=0.

Если ковариация случайных величин не равна нулю, то случайные величины коррелированны. Ковариация может принимать значения на всей числовой оси, поэтому в качестве меры связи используют основной момент порядка s=1, h=1,который называют коэффициентом корреляции:

r_xy= , (6.13)

где , .

Коэффициент корреляции служит мерой линейной зависимости между случайными величинами.

Свойства коэффициента корреляции:

1. -1 r_xy 1;

2. Если r_xy = 1, то случайные величины линейно зависимы;

3. Если r_xy = 0, то случайные величины не коррелированны, что не означает их независимости вообще.

Замечание. Если случайные величины Х и Y подчиняются нормальному закону распределения, то некоррелированность СВ Х и Y означает их независимость.

Первые моменты:

а) для дискретных СВ: б) для непрерывных СВ:

M (X)= ,   M(Y)= , D(X)= ,   D(Y)= , K(X,Y)= ;

M(X)= , M(Y)= , D(X)= , D(X)= , K(X,Y)= .