Распределение Больцмана. Барометрическая формула

Рассмотрим газ, находящийся в поле тяжести Земли (в прин­ципе, это поле можно заменить любым другим силовым полем). Будем считать температуру газа во все точках среды одинако­вой и равной T. Выделим цилиндрический объем газа, показан­ный на рисунке 3.

Ось h направим вертикально вверх от поверхности Земли. Пло­щадь основания цилиндра обозначим через S. Пусть p+dp — это давление на верхнее основание цилиндра, р — давление на ниж­нее основание цилиндра, dh — высота цилиндра. Концентрацию молекул внутри цилиндра обозначим через п. Будем полагать, что рассматриваемый цилиндрический объем находится в со­стоянии равновесия. Следовательно, сумма действующих на него сил должна быть равна нулю.

На верхнее основание действует сила F = (р + dp)S, на ниж­нее (F + dF) = pS. Разница этих сил уравновешивается силой тяжести dMg - mgSn * dh. Здесь Sdh — объем цилиндра, dM — масса газа внутри этого объема. Отсюда имеем

Или после небольших преобразований

Учитывая, что n = р/(кТ), вместо (5) получим

Выполним интегрирование и сделаем последующие преобразо­вания

где р_о — давление на поверхности Земли, Отсюда вместо (7)

Учитывая также, что р = пкТ, получим

Формула (8) называется барометрической формулой. Она пока­зывает, как меняется давление по мере увеличения высоты над поверхностью Земли. В реальной земной атмосфере давление уменьшается приблизительно в 3 раза при увеличении высоты

на 8 км. Формула (9) называется формулой Болъцмана. Она опи­сывает распределение молекул по потенциальным энергиям.

Чтобы узнать, какая часть из п молекул обладает данной скоростью, т.е. как они распределены по скоростям, п надо умножить на f(v). Тогда найдем

Формулу (10) иногда называют распределением Максвелла-Болъцмана. Ее можно привести к виду

Здесь в числителе экспоненты стоит сумма кинетической (W_K) и потенциальной (W_n) энергий молекул, т.е. ее полная механиче­ская энергия W. Поэтому распределение (11) есть фактически распределение по энергиям и его можно записать в форме

Отметим, что формула (12) остается верной для любого силово­го поля, а не только гравитационного. Экспериментально закон распределения Максвелла был проверен в 1920 году немецким физиком Отто Штерном. Закон распределения Больпмана так­же многократно проверялся экспериментально, например, с по­мощью барометров, поднимаемых на различные высоты.