Задачи к главе III для самостоятельного решения

1. На плоскости фиксированы две различные точки А и В; фиксировано положительное число k. Найти геометрическое место точек М, для каждой из которых .

Отв. Пустое множество, если k< ; середина отрезка АВ, если k = ; окружность с центром в середине отрезка АВ, если k > .

2. На плоскости фиксированы две различные точки А и В; фиксировано число k. Найти геометрическое место точек М, для каждой из которых Отв. Прямая, перпендикулярная АВ.

3. Дана точка О и прямая l, не проходящая через О. Пусть Р - перемен­ная точка прямой l. На луче ОР берется точка М, такая, что , где k-данное положительное число. Найти геометрическое место точек М.

Отв. Окружность.

4. Написать в полярных координатах уравнение прямой, перпендикуляр­ной полярной оси и отсекающей на ней отрезок ОA=а.

Отв. .

5. Написать уравнение окружности радиуса а в полярных координатах, принимая за полюс точку О на окружности, а за полярную ось проходящий через нее диаметр ОА.

Отв. .

6. Прямоугольник, две стороны которого совпадают с осями координат, изменяется так, что его диагональ сохраняет постоянную величину а. Линия, описываемая основанием перпендикуляра, опущенного из вершины прямо­угольника, противоположной началу координат, на его диагональ, называется астроидой. Найти ее уравнение, принимая за оси координат неподвижные стороны прямоугольника (рис. 70). Отв. .

7. Даны точка О и прямая, находящаяся от точки О на расстоянии OA= а. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий данную прямую в переменной точке B. На этом луче по обе сто­роны от точки В откладываются отрезки, . Написать в полярных координатах уравнение линии (конхоида Никомеда), описы­ваемой точками и при вра­щении луча, принимая за полюс точ­ку О, а за полярную ось - перпен­дикуляр ОА, опущенный из точки О на данную прямую; перейти затем к декартовым координатам, прини­мая за начало системы точку О, а за ось абсцисс прямую ОА (рис. 71),

Рис. 70

Отв. , или .

8. Даны точка О и прямая, на­ходящаяся от точки О на расстоя­нии ОA=a. Вокруг точки О вращает­ся луч, пересекающий прямую в переменной точке В. На этом луче по обе стороны от точки В откладываются равные отрезки . Составить уравнение линии (строфоида), описываемой точками и при вращении луча, в полярных координатах, принимая за полюс точку О и за полярную ось перпендикуляр ОА, опущенный из О на данную прямую. Перейти затем к декартовым координатам, принимая за начало координат точку О и за ось абсцисс прямую ОА (рис. 72).

Отв. , или .

Рис. 71 Рис. 72 Рис. 73

9. На окружности радиуса а взята точка О и через точку K, диаметрально противоположную точке С, к окружности проведена касательная. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий окруж­ность и касательную соответственно в точках A и B. На этом луче от точки О откладываем отрезок ОМ, равный отрезку AB луча, заклю­ченному между окружностью и касательной. Линия, описываемая точкой М при враще­нии луча, называется циссоидой Диоклеса.

Рис. 74

Написать ее уравнение в полярных координа­тах, принимая за полюс точку О и за по­лярную ось диаметр OK Перейти затем к декартовым координатам (рис. 73).

Отв. , или .

10. На окружности радиуса а взята точка О и через нее проведен диа­метр ОА. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий окружность в пе­ременной точке В. На этом луче по обе стороны от точки В откладываются отрезки . Написать уравнения линий, описываемых точками и при вращении луча.

Отв. Две окружности

11. Отрезок постоянной длины 2а скользит своими концами по сторонам прямого угла. Найти линию, описываемую при этом движении отрезка ос­нованием перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на отрезок (в полярных и декартовых координатах) (рис. 74).

Отв. .

12. На окружности радиуса а взята точка О. Через точку K, диаметрально противоположную О, к окружности проведена касательная. Вокруг точки О вращается прямая, пересекающая окружность и касательную соответственно в точках A и B. Из точки A проводится прямая, параллельная касательной, а из точки B-прямая, параллельная

Рис.75 Рис.76 диаметру ОК.. Найти геометрическое место точек пересечения этих прямых (верзьера Марии Аньези), принимая за начало прямоугольной системы координат точку О, а за ось абсцисс диаметр ОК (рис. 75).

Отв. .

13. Круг радиуса r катится по кругу радиуса R, оставаясь вне его. Найти параметрические уравнения линии, описываемой точкой катящегося круга (эпициклоида), принимая за начало координат центр неподвижного круга, а за параметр-угол t между положительным направлением оси аб­сцисс и радиусом неподвижного круга, идущим в точку касания подвижного круга с неподвижным. В начальном положении подвижная окружность каса­лась неподвижной в точке пересечения последней с осью абсцисс (рис. 76).

Отв.

14. Круг радиуса r катится по кругу радиуса R, оставаясь внутри него Написать параметрические уравнения линии, описываемой точкой катящегося круга (гипоциклоида). Выбор системы координат и обозначений такой же как и в предыдущей задаче (рис. 77).

Отв.

15. Показать, что при R=4r гипо­циклоида обращается в астроиду

16. Показать, что при R=2r гипоциклоида обращается в диаметр непо­движного круга

Рис. 77

Рис. 78

17. Отрезок постоянной длины движется так, что один его конец сколь­зит по окружности x²+y²=r², а другой - по оси Ох (шатунно-кривошипный механизм). Составить уравнение кривой, которую описывает точка отрезка разделяющая его на части а и b.

Отв.

18. По окружности x²+y²=r² катится прямая, начальное положение которой . Определить траекторию точки катящейся прямой, принимая за начальное ее положение точку (r,0) (эвольвента окружности) (рис. 78).

Отв.