Линия в пространстве может быть задана двумя уравнениями

F(х,у,z)=0, Ф(х,у,z)=0 (1)

поверхностей, пересекающихся по этой линии. Линию в простран­стве иногда задают параметрически:

x=x(t), y=y(t), z=z(t), (2)

причем параметрические уравнения линии в пространстве опреде­ляются так же, как и параметрические уравнения линии на пло­скости.

Если поверхность S задана параметрически:

x=x(u, ), y=y(u, ), z=z(u, ), (3)

то линию С, лежащую на этой поверхности, часто определяют одним уравнением f(u, )=0 (в частности и=и( ) или = (u))между криволинейными координатами и и . Уравнение f(u, )=0, (4) называется уравнением линии С, если любая пара значений и, , удовлетворяющая уравнению (4), не выходит из общей области определения D функций х(и, ), у(и, ) и z(и, ), а точка М с коор­динатами х(и, ), у(и, ), z(и, ) лежит на линии С. Обратно, для любой точки М линии С найдется "пара чисел и, , входящая в область D и такая, что f (и, )=0, а х(и, ), у(и, ), z(и, )- координаты точки М.

В частности, линии, выражаемые уравнениями u=C₁, =C₂ , где C₁ и C₂ — постоянные, называются координатными линиями поверхности S, заданной параметрическими уравнениями (3). Вместо одного уравнения (4) линию С на поверхности S задают и пара­метрически (в криволинейных координатах и, ):

u=u(t), = (t). (5)

Эти два уравнения называются внутренними уравнениями линии, лежащей на поверхности S, заданной уравнениями (3), если функции u(t) и (t) имеют общую область определения D₁, любому числу t из области D₁ соответствует пара чисел u(t), (t), не выходящих из области D и таких, что точка M[x(u(t), (t)), y(u(t), (t)), z(u(t), (t))] лежит на линии С. Обратно, для любой точки М линии С существует число t, обладающее указанным свойством.