Общий признак сходимости числовых рядов.

Теорема (Критерий Коши)Для того, чтобы знакопеременный числовой ряд (1) сходился необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер , такой, что для всех выполнялось неравенство

для всех натуральных .

Доказательство.

Применим критерий Коши сходимости числовой последовательности для последовательности частичных сумм ряда (1). Возьмем произвольное , для него существует номер , выберем и , причем тогда выполняется неравенство

,

что и требовалось доказать.