РАЗДЕЛ III. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ.

Лекция № 7. Элементы математической логики.

Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.

В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.

Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.

Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.

Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями

1) Отрицание. Отрицанием (логическим “не”) высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.

Обозначается Р или .

Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:

P	Р
И	Л
Л	И

2) Конъюнкция. Конъюнкцией (логическим “и”) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Обозначается P&Q или РÙQ.

3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией (логическим “или”) двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Обозначается PÚQ.

4) Импликация. Импликацией (логическим следованием) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.

Обозначается PÉQ (или РÞQ). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.

5) Эквиваленция. Эквиваленцией (логической равносильностью) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.

Обозначается Р~Q или РÛQ.

С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.

Замечание. В дальнейшем мы познакомимся с принципиально иной, более широкой трактовкой тех понятий, которые мы определили в данной лекции. Мы будем их рассматривать уже не как операции над высказываниями, но как некоторые функции. Поясним на следующем примере. Запись можно рассматривать как обозначение бинарной операции умножения переменных и , а, с другой стороны, так же обозначается функция двух переменных .

Пример 1. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.

Составим таблицы истинности для каждой формулы:

p	r		(pÙr)
И	И	Л	И	И
И	Л	Л	Л	И
Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л

p	r
И	И	Л	Л	Л	И
И	Л	Л	И	И	И
Л	И	И	Л	И	И
Л	Л	И	И	И	И

Данные формулы не являются эквивалентными.

Пример 2. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.

Составим таблицы истинности для заданных формул.

Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны.

Основные равносильности.

Для любых формул А, В и С справедливы следующие равносильности:

A & B º B & A; A & A º A; A & (B & C) º (A & B) & C;

A Ú B º B Ú A; A Ú A º A; A Ú (B Ú C) º (A Ú B) Ú C;

A Ú (B & C) º (A Ú B) & (A Ú C); A & (B Ú C) º (A & B) Ú (A & C);

A & (A Ú B) º A; A Ú (A & B) º A; ØØA º A; Ø(A & B) º ØA Ú ØB;

A º (A & B) Ú (A & ØB); A º (A Ú B) & (A Ú ØB);

Булевы функции.

Определение. Булевой функциейf(X₁, X₂, …, X_n) называется произвольная n – местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству {0, 1}.

Вообще говоря, между логическими высказываниями, логическими связками и булевыми функциями просматривается явная аналогия (подробнее она рассматривается в следующей лекции). Если логические функции могут принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений будут значения 0 или 1.

Для булевых функций также можно составить таблицы значений, соответствующим основным логическим операциям.

Лекция № 8. Логические функции.

Ниже будет подробно рассматриваться двухэлементное множество и двоичные переменные, принимающие значения из этого множества. Его элементы часто обозначают 0 и 1, однако они, вообще говоря, не являются числами в обычном смысле (хотя и похожи на них по некоторым свойствам). Наиболее распространённая интерпретация двоичных переменных – логическая: “да” – “нет”, “истинно” – “ложно”. В контексте, содержащем одновременно двоичные и арифметические величины, а также функции, эта интерпретация обычно фиксируется явно. Например, в языках программирования (Pascal и др.) вводится специальный тип переменной – логическая переменная, значения которой обозначаются true и false. В данной лекции логическая интерпретация двоичных переменных не везде является обязательной, поэтому будем считать, что , рассматривая 0 и 1 как формальные символы, не имеющие арифметического смысла.

1. Функции алгебры логики.

Определение. Алгебра, образованная множеством вместе со всеми возможными операциями на нём, называется алгеброй логики.

Определение. Функцией алгебры логики (логической функцией) называется арная операция на множестве .

Первый термин является более точным, однако второй более распространён, особенно в приложениях. Он и будет использоваться в дальнейшем. Итак, логическая функция - это функция, принимающая значения 0 или 1. Множество всех логических функций будем обозначать , множество всех логических функций переменных - .

Определение. Алгебра, образованная элементным множеством вместе со всеми операциями на нём, называется алгеброй значной логики, а арная операция на элементном множестве называется значной логической функцией.

Множество всех значных логических функций обозначается . Мы в дальнейшем будем рассматривать логические функции только из .

Всякая логическая функция переменных может быть задана таблицей, в левой части которой перечислены все наборы значений переменных (которых всего ), а в правой части – значение функции на этих наборах значений. Ниже приведена таблица, задающая некоторую функцию трёх переменных.

Наборы, на которых значение функции равно 1, часто называют единичными наборами функции , а множество единичных наборов называют единичным множеством функции . Аналогично, наборы, на которых значение функции равно 0, называют нулевыми наборами функции . В приводимой таблице три единичных набора и пять нулевых наборов.

Таблица 1.

Заметим, что наборы в таблице расположены в определённом порядке – лексикографическом, который совпадает с возрастанием наборов, если рассматривать их как двоичные числа. Этим упорядочением будем пользоваться в дальнейшем. При любом фиксированном упорядочении наборов логическая функция переменных полностью определяется вектор-столбцом значений функции, то есть . Поэтому число различных функций переменных равно числу различных двоичных векторов длины .

Определение. Переменная в функции называется несущественной (фиктивной), если при любых значениях остальных переменных.

Иначе говоря, переменная считается несущественной, если изменение её значения в любом наборе не изменяет значения функции. В этом случае функция по существу зависит от переменной, то есть представляет собой некоторую функцию от переменной. Говорят, что функция получена из функции удалением фиктивной переменной или, наоборот, что функция получена из функции добавлением фиктивной переменной. Например, запись означает, что при любых значениях выполняется независимо от значения .

Практический смысл удаления фиктивных переменных очевиден, поскольку они не влияют на значение функции и являются с этой точки зрения лишними. Однако иногда бывает полезно вводить фиктивные переменные. Благодаря такому введению можно всякую функцию переменных сделать функцией любого большего числа переменных. Поэтому любую конечную совокупность функций можно считать зависящей от одного и того же множества переменных (которое является объединением множеств переменных всех взятых функций).

1. Примеры логических функций.

Логических функций одной переменной четыре; они приведены в таблице 2.

Таблица 2.

Здесь функции и - константы 0 и 1 соответственно, значения которых не зависят от значения переменной, и, следовательно, переменная для них несущественна. Значения функции совпадают со значениями переменной . Наконец, функция , значения которой противоположны значениям переменной, есть ни что иное, как отрицание (функция НЕ). Различные способы обозначения этой функции: .

Логических функций двух переменных – шестнадцать; они приведены в таблице 3.

0 0
0 1
1 0
1 1

Таблица 3.

Функции и , как и в предыдущем случае являются константами, то есть функциями с двумя несущественными переменными. Отметим, что формально эти функции отличаются от функций и из предыдущего примера, поскольку являются бинарными операциями на множестве . Однако ранее было принято функции, отличающиеся только несущественными переменными, считать равными.

Среди представленных в таблице 3 функций отметим те, которые уже знакомы нам в качестве логических операций, изученных в ходе предыдущей лекции.

Функция является конъюнкцией переменных и (функцией И). Она равна 1 тогда и только тогда, когда обе переменные равны 1. Обозначается: , . Её также называют логическим умножением, поскольку таблица её действительно совпадает с таблицей обычного умножения для чисел 0 и 1. Поэтому, кстати, по аналогии с обычным умножением, знак операции между переменными часто опускают: .

Операцию будем называть умножением по модулю 2 (см. ниже). Она реализует произведение остатков от деления чисел 0 и 1 на число 2.

Функция называется дизъюнкцией переменных и (функцией ИЛИ). Она равна 1, если значения или равны 1. Союз “или” понимается здесь в неразделительном смысле “хотя бы один из двух”. Обозначается: .

Функция называется неравнозначностью переменных и . Она равна 1, когда значения аргументов различны, и равна 0, когда значения аргументов одинаковы. Обозначается: .

Привести пример такой функции более сложно. Для этого введём следующее понятие, широко используемое в теории чисел.