РАЗДЕЛ II. ВВЕДЕНИЕ В ОБЩУЮ АЛГЕБРУ.

Лекция № 5. Элементы общей алгебры.

1. Свойства бинарных алгебраических операций.

Определение. На множестве А определена алгебраическая операция,если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

Замечание. Вообще говоря, операция, определённая таким образом, называется бинарной, поскольку в ней участвуют два элемента. Но также можно говорить об унарных операциях, в которых участвует только один элемент данного множества, и в соответствие ему однозначным образом поставлен второй элемент этого множества. Таковы, например, операции извлечения корня квадратного или нахождения модуля числа.

Аналогично можно определить тринарную и прочие операции на данном множестве, в зависимости от количества участвующих в них элементов. В общем случае, операцией на множестве будем называть функцию типа .

Определение. Операция , отображающая любой элемент множества в себя, называется тождественной операцией.

Тождественной операцией на множестве , например, является умножение на единицу.

Для того чтобы описанные ниже соотношения выглядели бы более привычно, положим результат применения бинарной операции элементам записывать не в функциональном виде , а виде , принятом для записи арифметических операций.

Определение. Операция называется коммутативной, если для любых элементов выполняется: .

Операции сложения и умножения чисел коммутативны, а вычитание и деление некоммутативны. Также некоммутативна операция умножения матриц (как известно из курса линейной алгебры).

Определение. Операция называется ассоциативной, если для любых элементов выполняется: .

Выполнение условия ассоциативности означает, что скобки в выражении можно не расставлять. Сложение и умножение чисел ассоциативны, что и позволяет не ставить скобки в выражениях типа и . В качестве примера неассоциативной операции можно привести возведение в степень:

.

Правда, запись является допустимой, но служит сокращением записи выражения , а не (сокращённая запись которого - ). Важным примером ассоциативной операции является композиция отображений.

Определение. Операция называется дистрибутивной слева относительно операции , если для любых выполняется:

,

и дистрибутивной справа относительно операции , если для любых выполняется:

.

Наличие свойства дистрибутивности позволяет раскрывать скобки. Например, умножение дистрибутивно относительно сложения (и вычитания) и справа, и слева:

.

Возведение в степень дистрибутивно относительно умножения справа: , но не слева: . Сложение (и вычитание) чисел недистрибутивно относительно умножения: . Ниже будет показано, что операции пересечения и объединения множеств дистрибутивны относительно друг друга и слева, и справа.

2. Алгебраические структуры.

Определение. Пусть дано некоторое множество , на котором задана совокупность операций . Структура вида называется алгеброй; множество называется несущим множеством, совокупность операций - сигнатурой, вектор “ ” операций называется типом.

Определение. Множество называют замкнутым относительно операции на множестве , если значения функции на аргументах принадлежат (то есть ). Если множество замкнуто относительно всех операций , то структура называется подалгеброй алгебры .

Пример 1.

а) Алгебра R называется полем действительных чисел (определение понятия поля будет дано ниже). Её тип - . Это означает, что сигнатура данной алгебры содержит две бинарные операции. Здесь все конечные подмножества (кроме множества ) не замкнуты относительно обеих операций и, следовательно, не могут образовывать подалгебры. Но алгебра вида Q -поле действительных чисел – образует подалгебру.

б) Пусть задано множество . Множество всех его подмножеств – булеан, обозначается как или . Алгебра называется булевой алгеброй множеств над множеством . Её тип: . Для любого будет являться подалгеброй .

в) Множество одноместных функций на (то есть функций вместе с унарной операцией дифференцирования является алгеброй. Множество элементарных функций замкнуто относительно этой операции (поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция), поэтому образует подалгебру данной алгебры.

Определение. Замыканием множества относительно сигнатуры (обозначается ) называется множество всех элементов, которые можно получить из элементов этого множества, применяя операции из сигнатуры (включая сами элементы ).

Например, в алгебре целых чисел Z замыканием числа 2 является множество чётных чисел.

Теорема 5.1. Непустое пересечение подалгебр образует подалгебру.

1. Гомоморфизм и изоморфизм.

Алгебры с различными типами (в смысле, определённом в пункте 1), очевидно, имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется вводимых ниже понятий.

Определение. Пусть даны две алгебры и . Гомоморфизмом алгебры в алгебру называется функция , такая, что для всех выполняется условие:

для любого . (*)

Смысл данного определения состоит в следующем. Независимо от того, выполнена ли сначала операция в алгебре , а потом произведено отображение , либо сначала произведено отображение , а потом в алгебре выполнена соответствующая операция , результат будет одинаков.

Сейчас мы определим некоторые виды гомоморфизма, обладающие дополнительными свойствами.

Определение. Гомоморфизм, который является инъекцией, называется мономорфизмом.

Определение. Гомоморфизм, который является сюръекцией, называется эпиморфизмом.

Определение. Гомоморфизм, который является биекцией, называется изоморфизмом.

Таким образом, можно сказать, что изоморфизм – это взаимно однозначный гомоморфизм.

Замечание. Если множества-носители двух данных алгебр равны, то их гомоморфизм называется эндоморфизмом, а изоморфизм – автоморфизмом.

Теорема 5.2. Если и - две алгебры одного типа и - изоморфизм, то - тоже изоморфизм.

Пример 2.

а) Пусть - множество натуральных чисел, множество натуральных чётных чисел. Алгебры и изоморфны; изоморфизмом является отображение , причём условие здесь имеет вид . Поскольку , то данный изоморфизм есть изоморфизм алгебры в себя.

б) Изоморфизмом между алгебрами и является, например, отображение . Условие имеет вид .

в) Булевы алгебры, образованные двумя различными множествами одинаковой мощности, изоморфны: операции у них просто одинаковы (см. выше), а отображением может служить любое взаимнооднозначное соответствие.

Теорема 5.3. Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр.

Понятие изоморфизма является одним из важнейших понятий в математике. Его сущность можно выразить следующим образом. Если две алгебры изоморфны, то элементы и операции любой из них можно переименовать таким образом, что эти алгебры совпадут. Это позволяет, получив некоторое эквивалентное соотношение в данной алгебре, распространять его на любую изоморфную ей алгебру. Распространённое в математике выражение “с точностью до изоморфизма” означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, то есть являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.

Лекция № 6. Различные виды алгебраических структур.

1. Полугруппы.

Определение. Полугруппой называется алгебра вида с одной ассоциативной бинарной операцией .

Как правило, в качестве такой операции используется умножение. Поэтому результат её применения к двум различным элементам записывают в виде или , а результат неоднократного применения к одному элементу записывают в виде и так далее. Такая запись называется мультипликативной. Полугруппу часто обозначают записью .

Замечание. Не следует понимать сказанное выше в том смысле, что полугруппа всегда включает в себя именно арифметическую операцию умножения. Термин “умножение” здесь является достаточно условным. Символ “ ” применяется именно для того, чтобы указать на это. Под символом“ ” может пониматься и произведение матриц или векторов, и композиция каких-либо преобразований, и даже сложение.

В общем случае, (как, например, произведение матриц), то есть данная операция некоммутативна. Если же умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной или абелевой полугруппой.

Если множество-носитель полугруппы содержит такой элемент , что для любого выполняется , то этот элемент называется единицей (нейтральным элементом), а такая полугруппа называется моноидом. Легко показать, что если полугруппа содержит единицу, то она единственна. Действительно, допустим, существуют две единицы и . Тогда и , следовательно .

Пример 1.

а) Алгебра , где множество чётных чисел является абелевой полугруппой. Однако, очевидно, она не имеет единицы.

б) Алгебра , где множество квадратных матриц одинаковой размерности образует некоммутативную полугруппу. Причём эта полугруппа является моноидом, а роль единицы в ней выполняет единичная матрица .

в) Алгебра является коммутативной полугруппой с единицей.

Определение. Если любой элемент полугруппы можно представить в виде произведения конечного числа элементов множества , то множество называется порождающим множеством или системой образующих полугруппы, а его элементы называются образующими.

Например, в полугруппе порождающим множеством служит бесконечное множество простых чисел.

Определение. Полугруппа, которая имеет только одну образующую, называется циклической.

Можно показать, что в циклической полугруппе все элементы являются степенями (в смысле имеющейся операции) этой образующей. Например, циклической полугруппой является полугруппа , поскольку любое натуральное число – это сумма некоторого количества единиц.

Пусть полугруппа имеет конечное число образующих . Если в записи опустить обозначение операции (как это обычно делается для умножения), то все элементы полугруппы можно рассматривать как слова в алфавите . Причём некоторые различные слова могут оказаться равными, как элементы (равные элементы записаны различными словами). В коммутативной полугруппе для двух любых элементов выполняется равенство , позволяющее устанавливать равенство элементов, в том числе, записанных различными словами. Подобные равенства называются определяющими соотношениями.

Определение. Полугруппа, в которой нет определяющих соотношений, и любые два различных слова обозначают различные элементы группы, называется свободной.

Доказано, что каждую полугруппу можно получить из некоторой свободной полугруппы введением некоторых определяющих соотношений. Элементы заданной так полугруппы – это слова в алфавите образующих, причём некоторые слова равны (то есть задают один элемент) в силу определяющих соотношений. Они позволяют из любого слова получить любые эквивалентные ему слова. Отношение равенства слов есть отношение эквивалентности. Кстати, намного сложнее выяснить для двух данных слов, можно ли получить одно из другого с помощью определяющих соотношений. Исследование этой проблемы оказало значительное влияние на теорию алгоритмов.

1. Группы.

Определение 1. Группой называется полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента существует элемент , называемый обратным к элементу и удовлетворяющий условию .

Если не использовать в определении понятие полугруппы, то определить понятие группы можно следующим образом.

Определение 2. Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

1) для любых трех элементов a, b, c Î A выполняется свойство ассоциативности:

2) в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенство:

3) для любого элемента а существует элемент а^-1 из этого же множества такой, что

Замечание. Различные множества могут образовывать группу относительно какой-либо операции и не являться группой относительно другой операции.

Число элементов в множестве-носителе называется порядком группы. Группа, в которой операция коммутативна, называется коммутативной или абелевой. Группа, в которой все элементы являются степенями одного элемента, называется циклической. Для абелевых групп часто применяется аддитивная форма записи: операция обозначается, как сложение, а единица обозначается, как 0.

Пример 2.

а) Алгебра является абелевой циклической группой, в которой роль единицы играет 0, а роль элемента, обратного к элементу играет .

б) Алгебра , где множество рациональных чисел без нуля, является абелевой группой. Обратным к элементу является .

в) Множество невырожденных квадратных матриц порядка с определителем, отличным от нуля с операцией умножения является некоммутативной группой.

г) Множество матриц одинакового порядка с операцией сложения образует абелеву группу.

Замечание. Нахождение элемента, обратного данному, в общем случае, есть унарная операция. Поэтому тип любой группы . Иногда, при записи конкретной группы указывают в скобках кроме бинарной операции ещё и эту унарную операцию, либо (чаще) нейтральный элемент группы. Например, для группы из примера 2.а соответствующая запись имеет вид , а для группы из примера 2.б - .

1. Поля и кольца.

Определение. Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с Î R справедливы равенства:

Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативнымкольцом.

Из определения следует, что любое кольцо имеет две бинарные и одну унарную (см. пункт 2) операцию, поэтому его тип - .

Определение. Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a¹ 0 и любого элемента b существует единственный элемент такой, что ax = b.

Другими словами, для любой пары элементов и уравнение имеет единственный корень. Практически это определяет в поле существование операции деления.

Пример 3.

а) Алгебра является кольцом и называется кольцом целых чисел. Она, однако, не является полем, поскольку, например, уравнение в ней неразрешимо.

б) Алгебра является полем и называется полем рациональных чисел.

1. Решётки.

До сих пор нами рассматривались алгебры, то есть множества, на которых заданы операции. Множества, на которых кроме операций, заданы отношения, называются алгебраическими системами. Таким образом, алгебры можно считать частным случаем алгебраических систем, у которых множество алгебраических отношений пусто. Другим частным случаем алгебраических систем являются модели – множества, на которых заданы только отношения.

Рассмотрим здесь лишь один пример алгебраической системы, который наиболее часто встречается в теоретической алгебре и её приложениях - решётки.

Определение. Решёткой называется множество , частично упорядоченное отношением нестрогого порядка , с двумя бинарными операциями и , такое что выполнены следующие условия (аксиомы решётки):

1. (идемподентность);

2. (коммутативность);

3. (ассоциативность);

4. (поглощение).

Решётка называется дистрибутивной, если выполняются два следующих условия и .

Определение. Если в решётке существует элемент 0, такой что для любого выполняется , то он называется нижней гранью (нулём) решётки.

Определение. Если в решётке существует элемент 1, такой что для любого выполняется , то он называется верхней гранью (единицей) решётки.

Определение. Решётка, имеющая верхнюю и нижнюю грани, называется ограниченной.

Теорема 6.1. Если нижняя (верхняя) грань решётки существует, то она единственная.

Определение. В ограниченной решётке элемент называется дополнением элемента , если и .

Пример 4.

а) Любое полностью упорядоченное множество, например, множество целых чисел, можно превратить в решётку, определив для любых , что и .

б) Определим на множестве натуральных чисел отношение частичного порядка следующим образом: , если является делителем . Тогда есть наименьшее общее кратное этих чисел, а их наибольший общий делитель.

Решётка, в которой пересечение и объединение существуют для любого подмножества её элементов, называется полной. Конечная решётка всегда полна.