Построение вложенных марковских цепей для моделирования систем при изменении параметра потока отказов программных средств

Рассматриваемые в данном разделе ВМЦ, учитывающие изменения параметра потока отказа программных средств, строятся на базе БММ №1. Далее исследуются многофрагментные модели типовых архитектур СВГ.

Исследуем первую архитектуру S₂₁.

Система имеет два аппаратных канала. Программные средства, используемые каналами одинаковые. Средства реконфигурации после отказа одного из каналов вследствие ДФ отсутствуют. ССН и размеченный граф функционирования представлены на рис. 3.2. Граф описывает три состояния:

- S₁ – состояние, в котором система работоспособна;

- S₂ – состояние, которое характеризуется отказом одного из каналов по аппаратной компоненте (проявление физического дефекта);

- S₃ – состояние отказа системы по программной компоненте (проявление ДП ПС).

Граф, приведенный на рисунке 3.2, является однофрагментным, так как в нем не учтены параметры, определяющие изменение надежности аппаратной и программной компонент. Опираясь на описанные ранее БММ можно перейти к количественному анализу надежности выбранных систем.

На основе БММ 1 и однофрагментной модели рисунке 3.2 получим многофрагментный марковский граф функционирования системы S₂₁ (рис. 3.7). Набор параметров модели следующий: λ_дп=var (изменяется при переходе из одного фрагмента в другой, т.к. Δλ_дп=const); μ_вп=const. Этот вариант можно описать набором следующих выражений:

(3.17)

где Т_дп(н) – среднее время между проявлениями ДП ПС;

Т_вп(n) – среднее время восстановления после проявления ДП ПС в одном из внутренних фрагментов.

Рис. 3.7 – Размеченный граф (ВМЦ) функционирования СВГ S₂₁ построенный в соответствии с БММ 1

ВМЦ содержит следующие состояния:

- SF₁={S₁,S₄,…,S_3n+1} – множество состояний, в которых система работоспособна. Исходные состояния для всех видов фрагментов (начального, внутренних и конечного);

- SF₂={S₂,S₅,…,S_3n+2} - множество состояний, в которых произошел отказ одного из каналов АС;

- SF₃={S₃,S₆,…,S_3n+3} - множество состояний, в которых произошел отказ ПС.

Логика функционирования системы состоит в следующем. Реализуется схема простого поканального сравнения. Отказ системы по АС одного из каналов приводит к отказу всей системы. В начальный момент времени система реализует все предписанные функции и находится в состоянии S₁. В случайный момент времени проявляются ДП ПС или возникают ДФ АС. При проявлении ДФ АС система переходит в состояние S₂ с интенсивностью 2λ_дф. Далее с интенсивностью μ_дф система восстанавливается. При проявлении ДП ПС система переходит в состояние S₃ с интенсивностью λ_дп и с интенсивностью μ_вп восстанавливается, переходя во второй фрагмент графа (состояние S₄). Согласуясь с принятыми допущениями, после каждого события, связанного с интенсивностью проявления ДП ПС, величина интенсивности λ_дп уменьшается на постоянную величину Δλ_дп. Величина интенсивности μ_вп остается постоянной. Величина интенсивности λ_дп вычисляется с использованием выражения

. (3.18)

Число фрагментов определяется из следующего соотношения:

(3.19)

Система ведет себя аналогично во всех внутренних фрагментах. В конечном фрагменте все ДП ПС устранены (согласно принятому допущению) и нарушение функционирования системы может быть вызвано только ДФ АС.

СДУ Колмогорова, построенная на основе графа (рис. 3.7) имеет следующий вид:

для начального фрагмента Ф_н

(3.20)

для внутренних фрагментов Ф_{вн i}

для конечного фрагмента Ф_к

начальные условия

Функция готовности определяется как сумма вероятностей нахождения системы в работоспособных состояниях SF₁={S₁,S₄,…,S_3n+1}.

. (3.21)

Функция оперативной готовности определяется как

. (3.22)

Базовая архитектура построения СВГ S₂₂ представлена на рис. 3.6(а). Основная отличительная особенность такого построения заключается в том, что каждый аппаратный канал работает под управлением индивидуальной версии ПС. Очевидно, что применение такого варианта позволяет парировать часть ДП ПС (однотипных дефектов).

В соответствии с БММ 1 набор параметров модели следующий: λ_дп=var (изменяется при переходе из одного фрагмента в другой, т.к. Δλ_дп=const); μ_вп=const. Для построения многофрагментой марковской модели принимается дополнительное допущение о том, что λ_{дп (1)} = λ_дп(2), где λ_{дп (1)} и λ_дп(2) – интенсивности проявления ДП ПС программных версий V₁ и V₂. Тогда суммарная интенсивность определяется как:

Λ_дп= λ_{дп (1)} + λ_дп(2). (3.23)

Многофрагментный марковский граф представлен на рис. 3.8.

Рис. 3.8 – Размеченный граф (ВМЦ) функционирования системы S₂₂, построенная в соответствии с БММ 1

Логика функционирования системы подобна описанной для архитектуры S₂₁.

В случае, если начальное количество ДП ПС N_деф=6, граф состояний и переходов будет содержать 7 фрагментов и выражение для вычисления функции готовности будет следующим:

. (3.24)

СДУ Колмогорова будет имеет вид:

Рассмотрим архитектуру СВГ S^к₂₁, представленную на рисунке 3.6(б). Данная архитектура имеет два аппаратных канала. ПС, используемые этими каналами, одинаковые. Каждый канал имеет встроенные средства контроля (ВСК). Применение встроенного контроля является эффективным средством повышения надежности. Особенностью функционирования системы с ВСК является возможность переключения в одноканальный режим в случае проявления ДФ АС. Переключение в одноканальный режим осуществляется средством реконфигурации (коммутатором).

В соответствии с БММ 1, набор параметров модели следующий: λ_дп=var (изменяется при переходе из одного фрагмента в другой, т.к. Δλ_дп=const); μ_вп=const. Многофрагментный марковский граф представлен на рисунке 3.9.

Рис. 3.9 – Размеченный граф (ВМЦ) функционирования системы S^к₂₁, построенная в соответствии с БММ 1

Граф, описывающий МФМ, содержит следующие состояния:

S₁ – состояние, в котором система работоспособна (начальное состояние), во внутреннем фрагменте этому состоянию соответствует по физическому смыслу состояние S_5i+1;

S₂ – состояние скрытого отказа по ПC, во внутреннем фрагменте этому состоянию соответствует состояние S_5i+5;

S₃ – состояние обнаруженного отказа по АC (работоспособное состояние), которому во внутреннем фрагменте соответствует состояние S_5i+2;

S₄ – состояние обнаруженного отказа по АC (неработоспособное состояние), которому во внутреннем фрагменте соответствует состояние S_5i+3;

S₅ – состояние отказа одного канала по ПC, другого по АC (неработоспособное состояние), которому во внутреннем фрагменте соответствует состояние S_5i+4;

S_5k+1 – состояние, принадлежащее последнему фрагменту, в котором система работоспособна;

S_5k+2 – состояние отказа одного канала по АC (состояние принадлежит последнему фрагменту);

S_5k+3 – состояние отказа двух каналов по АC (состояние принадлежит последнему фрагменту).

Система дифференциальных уравнений, в обобщенном виде описывающая функционирование СВГ с архитектурой S^к₂₁ имеет вид:

для начального фрагмента Ф_н

для внутренних фрагментов Ф_{вн i}

(3.25)

для конечного фрагмента Ф_к

Выражение для вычисления функции готовности будет следующим:

, (3.26)

а для вычисления функции оперативной готовности:

, (3.27)