Надежность статистических оценок параметров распределения.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки (неизвестный параметр) по (найденная характеристика по данным выборки) называют вероятность , с которой оценивается неравенство

Надежность оценки задается изначально ; Доверительным называют интервал

который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью.

Рассмотрим выборочную среднюю как случайную величину (т.к. изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака – как одинаково распределенные случайные величины . Математическое ожидание каждой из этих величин равно а, а среднее квадратическое отклонение – . Параметры распределения

Необходимо, чтобы выполнялось соотношение

где – заданная надежность, которая равна

Если учесть, что

то

т.е.

и тогда можно записать

– табличное значение.

Таким образом, с надежностью можно утверждать, что рассматриваемый доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а и при этом точность оценки равна

Такую интервальную оценку для неизвестного математического ожидания называют классической. При увеличении надежности классической оценки уменьшается ее точность, а при возрастании объема выборки n число убывает, и точность оценки увеличивается. Если требуется оценить математическое ожидание с заданной точностью и надежностью , то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле

В том случае, если требуется оценить неизвестное математическое ожидание а и при этом неизвестно среднее квадратическое отклонение , то пользуются распределением Стьюдента, которое определяется параметром n – объемом выборки и не зависит от неизвестных параметров а и

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания будет следующим

где – табличное значение.

Случайные величины и заменены неслучайными величинами и S, найденными по выборке.

Важно заметить, что для малых выборок объема характерно сужение доверительного интервала. Данный факт объясняется тем, что выборка содержит малую информацию об интересующем признаке.

Оценить неизвестное среднее квадратическое отклонение возможно по «исправленному» выборочному среднеквадратическому отклонению . Необходимо, чтобы выполнялось соотношение