Эмпирическая функция распределения

Статистическое распределение можно задавать в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот.

Если в основании группировки лежит качественный признак, то количество групп равняется количеству значений этого признака. Если в основании группировки лежит количественный признак, то число групп и величина равных интервалов определяется по формуле Стерджеса

где R – размах выборки, n – объем выборки. Размах выборки равен разности между наибольшим и наименьшим значением наблюдаемых вариант выборки

Частота, соответствующая интервалу, принимает значение, равное сумме частот, попавших в этот интервал.

Введем обозначения: число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее ; n – общее число наблюдений (объем выборки).

Относительная частота события будет равна . Если изменяется , то изменяется и относительная частота, т.е. относительная частота – функция от х. Так как эта функция находится опытным (эмпирическим) путем, то ее называют эмпирической

Чтобы найти, например, надо число вариант, меньших , разделить на объем выборки

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения.

Теоретической функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , т.е.

Различие между теоретической и эмпирической функциями распределения состоит в том, что теоретическая функция распределения определяет вероятность события Х<x, а эмпирическая функция распределения определяет относительную частоту этого же события.

Согласно теоремы Бернулли, относительная частота события Х<x (т.е. мало отличается от вероятности этого события при больших n). Другими словами, при больших n числа и мало отличаются одно от другого в том смысле, что

.

Вывод: целесообразно использовать эмпирическую функцию распределения выборки для приближенного представления теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Такой вывод подтверждается тем, что обладает всеми свойствами . Действительно, из определения эмпирической функции распределения вытекают следующие ее свойства:

1) значение эмпирической функции принадлежат отрезку ;

2) – неубывающая функция;

3) если – наименьшая варианта, то при ; если наибольшая варианта, то при .

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Рассмотрим пример. Записать эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки

Решение:

т.е.