Линейные и дробно-линейные иррациональности

Рассмотрим интеграл вида

где постоянные, рациональная функция относительно своих двух аргументов. Тогда вся подынтегральная функция, рассмотренная как сложная функция от будет из-за наличия радикала иррациональной. Для рационализации этого интеграла совершим подстановку

Полученная функция является рациональной.

Аналогичным образом, интеграл

где рациональная функция от своих аргументов, переходит в интеграл от рациональной функции после подстановки с соответственно подобранным

Рассмотрим пример:

Рационализация интеграла

где рациональная функция, осуществляется с помощью подстановки

Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.

Интеграл вида

где рациональная функция, постоянные, целые положительные числа, приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной с помощью подстановки

где число наименьшее общее кратное знаменателей дробей

т.е.

Интеграл вида

приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной с помощью подстановки

Рассмотрим пример:

Рассмотрим еще один пример:

Интеграл вида

где постоянные, отличные от нуля, рациональные числа, можно привести к интегралу от рациональной функции с помощью подстановок Чебышева в трех случаях: