Вынужденные колебания системы

Пусть на некоторую точку механической системы с наложенными стационарными голономными связями, кроме упругой силы и силы сопротивления пропорциональной первой степени скорости, действует периодическое возмущение. Характер такого возмущения может иметь разные причины. Наиболее часто встречаются случаи силового и кинематического возмущения. В качестве примера рассмотрим динамическую модель машины, установленной на фундаменте (рис. 3. 12). Машина массой m является амортизируемым объектом, а фундамент – основанием. Амортизатор, помещенный между объектом и основанием, имеет приведённый коэффициент жёсткости и приведённый коэффициент демпфирования . На рис. 3. 12 (а) представлен случай силового возмущения, а на рис. 3. 12 (б) — случай кинематического возмущения.

При силовом возмущении уравнение Лагранжа II рода для такой системы можно записать в виде

,

где обобщенная неконсервативная сила определяется выражением

,

а , , — амплитуда, частота и фаза возмущающей силы.

Ошибка! Закладка не определена.Ошибка! Закладка не определена.

Рис. 3. 12 Динамическая модель амортизируемой машины

При кинематическом возмущении , где — закон обобщенного перемещения основания, — амплитуда, частота и фаза кинематического возбуждения, уравнение Лагранжа II рода примет вид

,

где обобщенная сила инерции определяется выражением, аналогичным выражению для неконсервативной силы

,

а — амплитуда обобщенной силы инерции, определяемая выражением

.

Подставляя выражения для кинетической, потенциальной энергии и диссипативной функции в уравнение Лагранжа, окончательно получим дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы с учётом сил сопротивления и возмущающей силы

,

где , — относительная амплитуда возмущения при силовом или кинематическом возбуждении соответственно.

Данное уравнение описывает колебательный процесс механической системы с одной степенью свободы как в случае силового, так и кинематического возбуждения. Однако механический смысл коэффициентов правой части различен. Существенное различие этих случаев состоит в том, что при силовом возбуждении не зависит от частоты возмущения, а при кинематическом возбуждении величина пропорционально квадрату частоты возмущения.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения для случая малого сопротивления , имеет вид

,

где — амплитуда вынужденных колебаний;

— сдвиг фазы вынужденных колебаний по сравнению с фазой возмущающей силы, а выражения для коэффициентов , , и имеют вид:

Здесь — коэффициент расстройки или относительная частота возмущающей силы; — относительный коэффициент затухания (демпфирования); — при силовом возмущении ( в данном случае — величина равная статическому отклонению системы под действием постоянной возмущающей силы, модуль которой равен ), — при кинематическом возмущении. Константы и определяются из начальных условий:

Таким образом, вынужденные колебания представляют собой сложение двух колебательных процессов: собственных колебаний и колебаний от действия возмущающей силы. Типичный график вынужденных колебаний при наличии сопротивления изображен на рис. 3. 13.

Ошибка! Закладка не определена.

Рис. 3. 13 Вынужденные колебания при наличии сопротивления

Следует отметить, что учет сопротивления движению приводит к тому что, начиная с некоторого момента времени , называемого временем установления, колебательное движение определяется только действием возмущающей силы и движение называется установившимися колебаниями.

При отсутствии сопротивления закон колебательного движения, при выполнении условия , будет иметь вид (рис. 3. 14)

,

где , а константы A₀ и a₀ определяются из начальных условий:

.

Рис. 3. 14 Вынужденные незатухающие колебания.

Типичный график вынужденных колебаний при отсутствии сопротивления изображен на рис. 3. 14.