Затухающие колебания системы

Если на любую точку механической системы с наложенными стационарными голономными связями, кроме упругой силы, действует сила сопротивления пропорциональная первой степени скорости , то уравнение Лагранжа II рода можно записать в виде

.

Подставляя выражения для кинетической, потенциальной энергии и диссипативной функции в уравнение Лагранжа II рода, получим

где — коэффициент демпфирования (затухания).

Т.к. корни характеристического уравнения соответствующие данному дифференциальному уравнению определяются выражениями

,

то его решение зависит от соотношений между коэффициентами и :

Ошибка! Закладка не определена.

Рис. 3. 10 Апериодическое движение при большом сопротивлении

· — решение имеет вид (рис. 3. 10):

;

· — решение имеет вид (рис. 3. 10):

,

где — также как и в случае колебательного движения без сопротивления, константы интегрирования, определяемые из начальных условий.

При движение механической системы имеет апериодический характер, типичный график которого, изображен на рис. 3. 10.

· — (случай малого сопротивления) решение имеет вид (рис. 3. 11):

или .

Здесь — называется частотой свободных затухающих колебаний, — относительный коэффициент затухания, константы интегрирования определяются из начальных условий :

, .

Величина — как и в случае колебаний без учета сопротивления, называется начальной фазой колебаний. Коэффициент определяет координату пересечения образующей графика — с осью .(см. Рис. 3. 11)

Ошибка! Закладка не определена.

Рис. 3. 11 Свободные затухающие колебания.

Период затухающих колебаний определяется соотношением

.

Степень затухания колебательного движения определяется декрементом колебаний , который определяется отношением двух последовательных максимумов кривой или логарифмическим декрементом :

.