Свободные колебания системы

Рассмотрим движение голономной механической системы с одной степенью свободы под действием упругой силы , обладающей потенциалом. Положение системы определяется одной обобщённой координатой , которую будем отсчитывать от равновесного состояния. Тогда движение системы будет описываться одним уравнением Лагранжа II рода:

Подставляя значения кинетической и потенциальной энергии в уравнение Лагранжа, получим дифференциальное уравнение свободных колебаний системы.

,

где — частота свободных колебаний механической системы.

Решение этого уравнения можно записать в виде

или ,

где — константы, определяемые из начальных условий:

, или , .

— начальное положение и начальная скорость.

Типичный график движения механической системы, определяемый данным уравнением, изображен на рис. 3. 9. Коэффициенты интегрирования , имеют вполне определенный механический смысл (см. рис. 3. 9):

· — амплитуда свободных колебаний,

· — начальнаяфаза колебаний.

Ошибка! Закладка не определена.

Рис. 3. 9 График свободных колебаний без учета сопротивления

Величина обратная частоте свободных колебаний называется периодом колебаний и определяется выражением .