Сложение и разложение сил. Проекция силы на ось и на плоскость.

В соответствии с аксиомой сложения сил, две силы, приложенные к одной точке можно заменить одной — равнодействующей, которая находится по правилу параллелограмма или по правилу треугольника. Легко обобщить это правило на тот случай, когда к одной точке приложено более двух сил. Для нахождения их равнодействующей необходимо из конца первого вектора провести второй вектор и т. д. Поясним это на рис.2.11.

Рис.2.11 Равнодействующая сходящейсясистемы сил

Полученный многоугольник называется силовым, замыкающая сторона которого — вектор , определяет вектор равнодействующей, направлен из начала первого вектора силы в конец последнего вектора силы.

Решение задачи об определении суммы нескольких векторов (вектора ) является единственным и не зависит от того, в каком порядке складываются слагаемые векторы.

Рис.2.12 Разложение силы на составляющие

Противоположный по смыслу алгоритм — разложение векторов, не имеет единственного решения, до тех пор, пока не заданы сами направления разложения сил.

Например, силу , расположенную в плоскости (рис.2.12), можно разложить по взаимно перпендикулярным осям и , а можно и по любым другим и , При этом на оси и , наложено всего одно условие — они не должны быть параллельны друг другу. Cилы и или и называются составляющими силы .

Рис.2.13 Проекции силы на плоскости

Рассмотрим понятие проекции силы на ось. Проекцией силы на заданную ось, например , называется скалярное произведение вектора силы на единичный вектор , характеризующий положительное направление оси, т. е.

Угол находится между положительным направлением оси и направлением вектора силы . В том случае, когда проекция , т. к. . Модуль этой проекции удобно вычислять через угол . В соответствии с определением проекции силы и скалярного произведения векторов можно записать

Вернемся к вопросу о разложении силы и рассмотрим эту процедуру в пространственном случае. Часто встречаются два варианта разложения: в первом случае (рис.2.13 а) ориентация вектора в пространстве задана двумя углами — между осью и направлением составляющей силы , лежащей в плоскости . и углом — между вектором и его составляющей вдоль оси ; во втором случае (рис.2.13 б) положение вектора определяется тремя углами между направлением вектора и положительными направлениями соответствующих осей: .

Рис.2.13 Проекции силы впространстве

Вначале разложим вектор по двум направлениям и . Ось расположена в плоскости, проходящей через вектор силы и ось Oz:

Вектор раскладывается по горизонтальным осям и .

Окончательно:

Последняя формула будет справедлива и при втором способе задания ориентации вектора . В этом случае известны углы между вектором и направлением осей ; и : . По определению проекции силы на ось имеем

Введённые понятия позволяют перейти к условиям равновесия системы сходящихся сил.