Затухающие колебания.

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления F* пропорциональна величине скорости:

. (3.18)

Здесь r — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила F* и скорость v имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось x имеют разные знаки.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид

. (3.19)

Применив обозначения

(3.20)

ω₀ ‑ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды (при r = 0). Эту частоту называют собственной частотой системы.

перепишем уравнение (3.19) следующим образом:

. (3.21)

Подстановка в (3.21) функции x=e^λt приводит к характеристическому уравнению

(3.22)

Корни этого уравнения равны

, . (3.23)

При не слишком большом затухании (при β<ω₀) подкоренное выражение будет отрицательным. Представим его в виде (iω)², где ω — вещественная величина, равная

. (3.24)

Тогда корни характеристического уравнения запишутся следующим образом:

, . (3.25)

Общим решением уравнения (58.1) будет функция

.

Таким образом, при не слишком сильном затухании общее решение уравнения (3.21) имеет вид

. (3.26)

Здесь a₀ и α — произвольные постоянные, ω — величина, определяемая формулой (3.24). На рис. дан график функции (3.26). Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки x.

В соответствии с видом функции (3.26) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с амплитудой, изменяющейся по закону a(t) = a₀e^‑β∙t. Верхняя из пунктирных кривых на рис. дает график функции a(t), причем величина a₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение x₀ зависит, кроме a₀, также от начальной фазы α: x₀ =a₀∙cosα.

Скорость затухания колебаний определяется величиной β = r/2m, которую называют коэффициентом затухания. Найдем время τ, за которое амплитуда уменьшается в e раз. По определению e^‑β∙τ = e^‑1, откуда β∙τ = 1. Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.

Согласно формуле (3.24) период затухающих колебаний равен

. (3.27)

При незначительном сопротивлении среды ( ) период колебаний практически равен T₀ = 2π/ω₀. С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.

Последующие наибольшие отклонения в какую-либо сторону (например, a', a'', a''' и т.д. на рис. образуют геометрическую прогрессию. Действительно, если a' =a₀e^‑β∙t, то a'' = a₀e^‑β(t+T) = a'e^‑βT, a''' =a₀e^‑β(t+2T) =a''e^‑βT и т. д. Вообще, отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

.

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм — логарифмическим декрементом затухания:

(3.28)

(не путать с λ в формулах (3.23 ) и (3.25)!).

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания λ. Выразив в соответствии с (3.28) β через λ, и T, можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде

.

За время τ, за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить N_e = τ/T колебаний. Из условия получается, что . Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина

, (3.29)

называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за то время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Подстановка функции (58.7) и ее производной в выражение для полной энергии колеблющейся системы E=kx²/2 + mv²/2 приводит после преобразований к формуле

, (3.30)

где y = arctg (β/ω). График этой функции изображен на рис. Убывание энергии обусловлено работой силы сопротивления среды . Мощность, развиваемая этой силой, равна . Таким образом,

.

Отсюда вытекает, что в тех точках кривой E(t), где , касательная к кривой параллельна оси t. В остальных точках dE/dt < 0.

При малом затухании (β<<ω₀) слагаемым, содержащим синус, в формуле (3.30) можно пренебречь и считать, что энергия изменяется по закону

E = E₀e^‑2βt, (3.31)

где E₀ = k(a₀)²/2 — значение энергии в начальный момент. К тому же результату можно прийти, если заменить определяемое формулой (3.30) мгновенное значение E(t) его средним значением за времяот t—T/2 до t + T/2 (T — период колебаний), вычисленным в предположении, что множитель ехр (—2βt) в течение промежутка T остается постоянным.

Из формулы (3.27) следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается. При β=ω₀ период колебаний обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим.

При β>ω₀ корни характеристического уравнения становятся вещественными (см. (3.25)) и решение дифференциального уравнения (3.21) оказывается равным сумме двух экспонент:

.

Здесь C₁ и C₂ — вещественные постоянные, значения которых зависят от начальных условий (от x₀ и v₀).Следовательно, движение носит апериодический (непериодический) характер— выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

На рис.показано оба возможных способа возвращения системы к положению равновесия при апериодическом движении. Каким из этих способов приходит система в положение равновесия, зависит от начальных условий. Движение, изображаемое кривой 2, получается в том случае, когда система начинает двигаться из положения, характеризуемого смещением x₀, к положению равновесия с начальной скоростью v₀ определяемой условием

. (3.32)

Это условие будет выполнено в том случае, если выведенной из положения равновесия системе сообщить достаточно сильный толчок к положению равновесия. Если, отведя систему из положения равновесия, отпустить ее без толчка (т. е. с v₀=0) или сообщить ей толчок недостаточной силы (такой, что v₀ окажется меньше определяемой условием (3.32)), движение будет происходить в соответствии с кривой 1 на рис.