СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Собственные функции эрмитового оператора образуют ортонормированный базис . Если частица находится в состоянии Ψ, являющемся суперпозицией функций , то физическая величина A не имеет определенного значения. Получим ее среднее значение.

Разложение состояния Ψ по базису имеет вид:

для дискретного спектра

, (2.23)

для непрерывного спектра

, (2.24)

где – комплексное число. Докажем, что коэффициент разложения является амплитудой вероятности обнаружения состояния в исследуемом состоянии Ψ. Вероятность обнаружения определяет .

Коэффициенты разложения . Умножаем на (2.23) или (2.24), интегрируем по пространственным переменным, переставляем суммирование и интегрирование, учитываем условия ортонормированности (2.21) или (2.22). Для дискретного спектра получаем

,

для непрерывного спектра

.

Заменяем , и для дискретного и непрерывного спектров находим коэффициент разложения

. (2.25)

Определим физический смысл коэффициента . Разложение для дискретного спектра подставляем в условие нормировки функции состояния и получаем

.

Результат сравниваем с нормировкой вероятности дискретных событий

.

Следовательно, вероятность обнаружения состояния в нормированном состоянии равна квадрату модуля коэффициента разложения

. (2.26)

Разложение для непрерывного спектра

подставляем в условие нормировки функции состояния

,

учитываем ортонормированность (2.22)

,

получаем

.

Результат сравниваем с нормировкой вероятности непрерывных событий

.

Следовательно, плотность вероятности обнаружения состояния в нормированном состоянии равна квадрату модуля коэффициента разложения

. (2.27)

Среднее значение величины, описываемой оператором , в нормированном состоянии равно

. (2.28)

Доказательство:

Состояние разлагаем по собственным функциям оператора с дискретным спектром

,

подставляем в (2.28), учитываем

,

,

получаем

.

Результат совпадает с определением среднего

в теории вероятности дискретной величины.

Для непрерывной величины аналогично находим из (2.28) известное в теории вероятности выражение

.