Свойства эрмитового сопряжения

,

,

,

, . (2.12)

Действительно,

,

,

где выполнено эрмитовое сопряжение первого оператора, а затем второго оператора.

Эрмитовый оператор не изменяется при эрмитовом сопряжении

. (2.13)

Из (2.11) получаем

. (2.14)

Свойства эрмитова оператора:

1) Собственные значения вещественные.

Доказательство:

В (2.14) полагаем , где – собственная функция оператора , учитываем

, ,

получаем

.

Следовательно,

(2.15)

– измеряемая величина вещественна.

2) Собственные функции, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство:

Пусть

, , , .

Из (2.14) при , получаем

.

Учитывая (2.15), находим

.

При выполняется условие ортогональности

. (2.16)

– состояния и при измерении не совместимы.